Bewertung des mechanischen Verformungsverhaltens von Filamenten von Zahnbürsten unterschiedlicher Geometrien

 

The Mechanical Behavior of Filaments of Toothbrushes with Different Shapes

 

Stephan Schönfelder

02.11.2003

 

Inhaltsverzeichnis

1. Übersicht

2. Einführung

3. Zum Stand Der Technik - State of the Art

4. Zur Theorie

5. Ergebnisse

6. Zusammenfassung

7. Ausblick

8. Quellen

9. Originalarbeit

10. Über den Autor

11. Impressum

 

Übersicht

Die Zahnpflege mit Zahnbürsten ist eine der wichtigsten prophylaktischen Maßnahmen gegen Karies. Durch zu hohen Putzdruck und zu harte Zahnbürsten kommt es immer häufiger zu Zahnfleischverletzungen und -entzündungen. Durch eine Änderung der Geometrie von Zahnbürstenfilamenten ist es gelungen durch eine konische Form die Spitzen sehr weich und flexibel zu gestalten und so das Verletzungrisiko zu senken.
In dieser Arbeit wurde das mechanische Verformungsverhalten dieser konischen Filamente mit Hilfe der FEM simuliert und mit anderen Filamentformen verglichen. Dazu wurden die Geometrie- und Materialeigenschaften verschiedener Filamenttypen bestimmt. Es konnte gezeigt werden, dass konische Filamente eine deutlich geringere Knickkraft aufweisen als zylindrische Filamente. Dadurch können sie sich auch bei geringen Putzdrücken verformen und sich an den Untergrund anschmiegen. So können sie sich Vertiefungen oder Unebenheiten auf dem Zahn oder am Zahnfleisch besser anpassen und so die Reinigungsleistung erhöhen.

Hinweis:
Aus Gründen einer vereinbarten Vertraulichkeit, können hier nicht alle Teile und Ergebnisse der Arbeit vorgestellt werden.

 


 

Dental care with toothbrushes is on of the most important preventive measures against caries. Unfortunatly, too hard toothbrushes and too high pressure while cleaning lead to more frequent gingival injuries. In order to reduce the risk of injury the filament geometry was changed into a conical shape with flexible tips. In this thesis the mechanical behavior of these conical filaments is simulated with FEM. Additional, the results were compared to other filament geometries. For this investigation mechanical as well as material properties are determined for different filament types. It will be shown, that the buckling force of conical filaments is much smaller than for cylindrical filaments. Therefore conical filaments have the higher ability to cling on different surfaces on tooth and gum. Hence it is conceivable, that the filament shape can improve the cleaning properties.

Remark:
Due to a NDA (NonDisclosure Agreement) it is not allowed to present all results of the thesis!

 

Einführung

Medizinischer Hintergrund

Die Zähne (bzw. der Zahnschmelz) des Menschen gehören zu den härtesten Bestandteilen des menschlichen Körpers. Sie müssen jeden Tag und im Laufe des Lebens Unmengen von Nahrung zerkleinern und dabei sehr großen Kräften widerstehen. Trotz ihrer großen Härte, sind sie nicht säureresistent.
Im Mundraum vorkommende Bakterien finden in den Zucker-und Nahrungsresten einen optimalen Nährboden. Dort breiten sie sich schnell aus und bilden einen dichten Zahnbelag (sog. Plaque). Zucker wird von diesen Plaquebakterien zu Säuren abgebaut, die die Zahnoberfläche entkalken. Es kommt so zu Zahnerkrankungen wie Karies.
Eine gründliche und intensive Mundhygiene bildet die Grundlage für gesunde Zähne und gesundes Zahnfleisch. Die mechanische Beseitigung von Plaque mit der Zahnbürste ist einer der wichtigsten Aspekte. Die Mediziner sprechen ihr einen hohen Anteil einer erfolgreichen Prophylaxe zu. Allerdings setzt dies die richtige Zahnbürste und den richtigen Einsatz voraus. Die Zahnbürste sollte weich sein, ein planes Bürstenfeld und einen kleinen Kopf besitzen.
In den letzten Jahren hat sich das Mundhygienebewusstsein der Bevölkerung erhöht. Es wird, wie empfohlen, häufiger und länger geputzt. Jedoch werden meist zu harte Zahnbürsten verwendet. Auch ist der Putzdruck meist viel zu hoch, wodurch es immer häufiger zu Zahnfleischverletzungen und- rückgang (Gingivarezessionen) kommt.

Anforderungen an eine Zahnbürste

Die Filamente einer Zahnbürste sollten sehr weich sein, um das Verletzungsrisiko für das Zahnfleisch zu senken. Auch zeigen weiche Filamente bessere Reinigungseigenschaften, da die Kontaktfähigkeit besser ist. Allerdings dürfen sie nicht zu weich sein, um bei der maximalen Putzkraft noch genügend Stabilität zu besitzen.
Fernerhin sollte eine Zahnbürste eine kleinen Kopf besitzen, um auch die hinteren Backenzähne gründlich reinigen zu können. Ein planes Bürstenfeld unterstützt diese Funktion.

Präzisierte Aufgabenstellung

Als unterschiedliche Filamentgeometrien werden drei Formen festgelegt, für die jeweils alle Untersuchungen erfolgen.

  1. konische Form eines Zahnbürstenfilaments eines Herstellers
  2. virtuelle zylindrische Form eines Herstellers mit den gleichen Materialeigenschaften
  3. zylindrische Form der ADA-Referenzzahnbürste.

Um das mechanische Verformungsverhalten bewerten zu können, werden im Einzelnen folgende Probleme gelöst:

  1. Erfassung aller relevanten Einwirkungs-und Widerstandsparameter für die Simulation
  2. Experimentelle Untersuchungen zur Bestimmung
    • der Filamentgeometrie
    • des Elastizitätsmoduls eines Einzelfilamentes
  3. Ermittlung der Knicklasten und des Verformungsverhaltens bei rein axialer Belastung
    • Lineare Knickanalyse: Lasten und Verformungen bis zum Knickfall
    • Nichtlineare Knickanalyse: Verformungen über das Knicken hinaus

Diese Untersuchungen erfolgen jeweils für jede festgelegte Filamentgeometrie.

 

 

Zum Stand Der Technik - State of the art

Bei der Recherche zum vorliegenden Thema "FEM-Berechnungen von Filamenten einer Zahnbürste" wurde nur sehr wenig gefunden. FEM-Simulationen in der Medizin beziehen sich hauptsächlich auf Implantate, wie Hüft-oder Kniegelenke, und deren Wechselwirkung mit biologischem Material.

"Interactive Simulation of Teeth Cleaning"

Hierbei handelt es sich um ein interaktives System, welches das "Zähne putzen" simuliert. Es wurde an der Universität Karlsruhe entwickelt. Damit können komplette Zahnbürsten aus beliebigem Material oder Design auf ihre Funktion virtuell überprüft und getestet werden.
Für das Softwaresystem müssen die Geometrie-und Materialdaten von der Zahnbürste und dem Mundraum (Kiefer mit Zähnen und Zahnfleisch) bereitgestellt werden. Für die Zahnbürsten geschieht dies sehr einfach über CAD-Schnittstellen, da sie meist bereits als 3D-CAD-Modell vorliegen. Für den Mundraum ist dies schon schwieriger. Dafür werden CT-Scans bzw. spezielle 3D-Scanner genutzt.
Sind alle notwendigen Daten eingeben, kann man mit einem Mensch-Maschine-Interface mit der virtuellen Zahnbürste auf den virtuellen Zähnen putzen. Dieses Interface ist ein Roboter welcher die virtuellen Bewegungen aufnimmt und in Reaktionkräfte umrechnet. Diese gibt er dann zurück auf den Menschen, der den Roboter (hier die virtuelle Zahnbürste) bedient. Man kann also den Druck, den die Zahnbürste auf die Zähne ausübt, fühlen.
Dem Rechner liegt die Zahnbürste als FEM-Modell vor, mit dem er dann das Kontakt und-Knickproblem der Filamente für jede Bewegung des Nutzers lösen kann. Für die Ermittlung der Kontaktpunkte wird ein spezieller Algorithmus verwendet.
Mit diesem System ist es möglich, die unterschiedlichen Putzgewohnheiten von Probanden zu analysieren und daraus Konsequenzen für die Putztechnik oder Eigenschaften der Zahnbürste zu ziehen. Mit den ermittelten Kontaktpunkten lassen sich Aussagen über die Reinigungsleistung treffen.
Allerdings gab es zum Zeitpunkt der Erstellung des Artikels noch Probleme bei komplizierten Kontaktgeometrien. Deshalb wurde es vorerst "`nur"' mit einer Zahnbürste auf einer Kugel präsentiert.
Für das Projekt waren noch weitere Verbesserungen geplant. So sollte beispielsweise Plaque und dessen Entfernung simuliert werden oder die Kontakte der Filamente zueinander berücksichtigt werden.

 

 

Zur Theorie

Um den Rahmen dieses Abschnittes nicht ausufern zu lassen, soll hier auf die Erklärung von Nichtlinearitäten (geometrische, materielle, strukturelle) verzichtet werden und das Hauptaugenmerk auf die Stabilitätsprobleme gelenkt werden. Der Abschnitt der Nichtlinearitäten können in der eigentlichen DA nachgelesen werden.

Stabilitätsprobleme

Allgemeines

Bei den Stabilitätsproblemen unterscheidet man stabiles, instabiles und indifferentes Gleichgewicht. Sie sind wie folgt charakterisiert:

Stabiles Gleichgewicht
bedeutet, dass sich das System infolge geringer Auslenkung wieder in den Ausgangszustand zurückbewegt.
Instabiles Gleichgewicht
bedeutet, dass ein System bei geringer Auslenkung versucht, diese zu vergrößern und nicht in die Ausgangslage zurückkehren wird.
Indifferentes Gleichgewicht
bedeutet, dass das System bei geringer Auslenkung in der ausgelenkten Lage verbleibt.

In folgender Abb. sind die drei Arten noch einmal veranschaulicht.

Figure: Die drei Arten des Gleichgewichtes
Image grund_stabglg

Knicken von Stäben

Ein einführendes Beispiel

Die Problematik des Knickens von Stäben soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden. Daran werden die wichtigsten Merkmale einer Stabknickung erläutert.
Man stelle sich einen starren Stab vor, welcher einseitig gelenkig an einer Drehfeder gelagert sein soll (s. Abb. hier).

Abb.: Knicken eines starren Stabes
Image grund_knick1

Der Stab, mit der Länge $l$, wird axial durch eine richtungstreue Kraft $F$ belastet. Die Drehfeder besitzt die Steifigkeit $c_m$. In der ausgelenkten Lage ist das System durch den Winkel $varphi$ definiert. Stellt man nun die Gleichgewichtsbedingung am verformten System auf, so erhält man für das Momentengleichgewicht am Lagerpunkt

begin{displaymath}sum M=0 quad Rightarrow quad F l sin varphi = c_m varphi quad .end{displaymath}


Daraus ergibt sich die Beziehung

begin{displaymath}F = frac{c_m}{l} frac{varphi}{sin varphi} quad ,end{displaymath}


welche das Verhalten charakterisiert. Setzt man kleine Verschiebungen voraus, so gilt mit $varphi << 1$, $sin varphi=varphi$. Dies führt in diesem Fall auf die Knicklast $F_mathrm{K}$ des Systems.

begin{displaymath}F_mathrm{K}= frac{c_m}{l}end{displaymath}


Stellt man die Funktion $frac{F l}{c_m}=frac{varphi}{sin varphi}$ dar, so lässt sich die Knickkraft veranschaulichen (s. Abb. hier).

Abb.: Grafische Darstellung des Verhaltens
Image grund_knick2

Bis zum Erreichen der Knickkraft ist das System für einen Winkel $varphi=0°$ stabil. Das System befindet sich im unterkritischen Bereich. Ist die Knickkraft erreicht, gibt es mehrere Möglichkeiten, wie sich das System verhalten könnte. Dieser Punkt wird auch Verzweigungspunkt oder kritischer Punkt genannt. Ab hier bedeutet ein Winkel $varphi=0°$ ein labiles System. Wird es gestört, so nimmt es einen Winkel entlang der Kurve ein und würde sich so, trotz geringer Störung, stark verformen. Die Richtung (I. oder II. Quadrant) hängt dabei von der Störungsrichtung ab. Ist der kritische Punkt überschritten, befindet sich das System im überkritischen Bereich.

Lineare Analyse

Die Linearität bei der Berechnung von Knickproblemen gehorcht der Theorie 2. Ordnung. Insgesamt existieren drei Theorien, die sich wie folgt beschreiben lassen:

Theorie 1. Ordnung
Es werden kleine Verformungen vorrausgesetzt und die Gleichgewichtsbeziehungen werden am unverformten System aufgestellt. Dies ist die übliche lineare Berechnungsmethode in der Mechanik.
Theorie 2. Ordnung
Es werden kleine Verformungen vorrausgesetzt und die Gleichgewichtsbeziehungen werden am verformten System aufgestellt.
Theorie 3. Ordnung
Es sind große Verformungen erlaubt und die Gleichgewichtsbeziehungen werden am verformten System aufgestellt. Dies ist eine nichtlineare Theorie.


Da die Theorie 3. Ordnung zu sehr komplizierten nichtlinearen Ausdrücken führt, wird für die Stabilitätsuntersuchungen meist die Theorie 2. Ordnung gewählt. Mit ihr kann man den kritischen Punkt exakt bestimmen. Allerdings lässt sie keine Aussagen jenseits des kritischen Punktes, im überkritischer Bereich, zu.
Die lineare Analyse, nach Theorie 2. Ordnung, führt auf ein Eigenwertproblem. Die Eigenwerte bedeuten dabei Laststeigerungsfaktoren mit denen die aufgebrachte Last multipliziert werden muss. Die Eigenformen stellen die Knickfigur dar. Im Folgenden soll das Eigenwertproblem in FE-Formulierung vorgestellt werden.
Prinzipiell lässt sich die lineare Knickanalyse in zwei Schritte unterteilen. Im ersten wird das System statisch untersucht, was Kräfte und Verschiebungen für eine gewählte Belastung liefert. Im zweiten Schritt wird das eigentliche Eigenwertproblem gelöst, bei dem die Lösungen (außer die Verschiebungen) der statischen Analyse mit in die geometrische Steifigkeitsmatrix einfließen.
Bei der Lösung geht man vom Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie aus, welches besagt, dass die Ableitung der Gesamtenergie nach den Freiheitsgraden verschwinden muss.

begin{displaymath}frac{partial Pi}{partial {mathbf{p}}} = {mathbf{0}}end{displaymath}(2.3)

Die potentielle Energie setzt sich aus interner und externer Energie des Systems zusammen. Die interne Energie eines Balken ergibt sich zu

begin{displaymath}Pi_mathrm{int} = frac{1}{2} int_l EI w''^2 mathrm{d}x quad .end{displaymath}(2.4)

Der Term der Längsdeformationen wird hier vernachlässigt. Die externe Energie ergibt sich aus den äußeren Kräfte und dem Weg, auf dem sie Arbeit verrichten. Für sie ergibt sich im verformten System

begin{displaymath}Pi_mathrm{ext} = frac{1}{2} int_l N(x) w'^2 mathrm{d}x quad .end{displaymath}(2.5)

Diese externe Energie soll ein wenig genauer beleuchtet werden. In Abb. hier ist ein verformter Balken dargestellt.

Abb.: Verformter Balken
Image grund_linknick1

Im Grundzustand gilt $F=N(x)$, wobei $N(x)$ die Normalkraft im Balken bedeutet. Unter Anwendung der Theorie 2. Ordnung, kann die Energie so auch mit Hilfe von $N(x)$, anstelle von $F$, aufgestellt werden. Es ergibt sich mit

begin{displaymath}Delta l = l -l^* = int_l (mathrm{d}s - mathrm{d}x)end{displaymath}


die Beziehung

begin{eqnarray*}Pi_mathrm{ext} &=& int_l N(x) (mathrm{d}s - mathrm{d}x......hrm{d}x &=& frac{1}{2} int_l N(x) w'^2 mathrm{d}x quad ,end{eqnarray*}


wie sie bereits in (2.5) eingeführt wurde.
Man nehme an, es gelte $N(x)=lambda N_0=mathrm{const}$, so erhält man für die gesamte potentielle Energie

begin{displaymath}Pi = frac{1}{2} int_l EI w''^2 mathrm{d}x + frac{1}{2} ,lambda N_0 int_l w'^2 mathrm{d}x quad .end{displaymath}(2.6)

Nun führt man den FE-Ansatz durch, bei dem gilt

begin{eqnarray*} w &=& {mathbf{N}}{mathbf{p}} w' &=& {mathbf{N}}'{mathbf{p}} w'' &=& {mathbf{N}}''{mathbf{p}}quad, end{eqnarray*}


wobei ${mathbf{N}}$ die Matrix der Ansatzfunktionen und ${mathbf{p}}$ der Vektor der Freiheitsgrade bedeuten. Wendet man dies nun auf (2.3) an, so erhält man

begin{displaymath} frac{partial Pi}{partial {mathbf{p}}} = int_l EI, ... ... {mathbf{N}}' mathrm{d}x, {mathbf{p}}= {mathbf{0}}quad . end{displaymath}(2.7)

Darin findet sich die Steifigkeitsmatrix ${mathbf{K}}$ und die geometrische Steifigkeitsmatrix ${mathbf{K}}_mathrm{g}$ wieder.

begin{eqnarray*} {mathbf{K}}&=& int_l EI, {mathbf{N}}''^T {mathbf{N}}'' ... ...rm{g} &=& int_l N_0, {mathbf{N}}'^T {mathbf{N}}' mathrm{d}x end{eqnarray*}


Gleichung (2.7) ergibt sich damit zu

begin{displaymath} ({mathbf{K}}+ lambda {mathbf{K}}_mathrm{g}){mathbf{p}}= {mathbf{0}}quad . end{displaymath}(2.8)

Dieses Eigenwertproblem kann nun gelöst werden. Die Kräfte $N_0$ aus dem Grundzustand sind in die geometrische Steifigkeitsmatrix ${mathbf{K}}_mathrm{g}$ mit eingeflossen, so dass die Laststeigerungsfaktoren $lambda$ berechnet werden können.
Die Gleichungen sind für ein Element aufgestellt worden. Für mehrere Elemente müssten noch die Steifigkeiten und Inzidenzien der Elemente summiert werden, worauf aber aus Gründen der Übersichtlichkeit verzichtet wurde.

Nichtlineare Analyse

Unter einer nichtlinearen Knickanalyse ist hier keine Knickanalyse mit Hilfe der Theorie 3. Ordnung gemeint, sondern entspricht dem Lösen eines Spannungsproblems in der FEM. Es ergibt sich also kein Eigenwertproblem, sondern es wird der Knickstab mit einer minimalen Störung (auch Imperfektion genannt) versehen. Wird das Problem dann unter Beachtung geometrischer Nichtlinearität gelöst, wird das System ebenfalls instabil und man kann die Knickkraft bestimmen.
Eine Instabilität im Spannungsproblem äußert sich im Vorzeichenwechsel eines Diagonalelementes der tangentialen Steifigkeitsmatrix. An dieser Stelle müssen die Zwischenschritte sehr klein sein, um das Konvergieren der Lösung zu gewährleisten.
Die Lösungsgenauigkeit hängt stark von der Größe der Imperfektion ab. Wählt man sie zu groß, kann ein kritischer Punkt nur schwer bestimmt werden. Wählt man sie zu klein, kann es zu Konvergenzproblemen kommen. Eine vorangegangene lineare Analyse kann dabei helfen den Bereich der kritischen Last einzugrenzen, so dass weniger zeitintensive nichtlineare Berechnungen durchgeführt werden müssen.

 

Ergebnisse

Experimentelle Untersuchungen

Es wurden Experimente an den vorliegenden Zahnbürsten (konische Geometrie, ADA) durchgeführt, um die Geometrie und den E-Modul zu bestimmen. Dabei sind hier die Ergebnisse nur kurz dargestellt.

Geometrie

Es wurden für jeden Filamenttyp eine Anzahl von Filamenten unter dem Lichtmikroskop untersucht und vermessen. Die durchschnittlichen Maße sind im Folgenden in Skizzen angegeben.

Unabhängig von den Geometrieuntersuchungen wurden die Spitzenformen unterschiedlicher Zahnbürsten untersucht. In Abb. 3.1 sind die Formen einer Zahnbürste mit konischen Filamenten, einer Markenzahnbürste mit zylindrischen Filamenten und der ADA-Zahnbürste dargestellt.

Abb.: Spitzenformen unterschiedlicher Zahnbürsten: v. l. n. r.  konische Form, zylindrische Form, ADA; (aufgenommen mit Leitz DMR-XE; Leica)
Image kon Image elmex Image ada

Damit bekommt man einen Eindruck für die Spitzenform von Filamenten. Dies ist für die Abstraktion des geometrischen Modells sehr wichtig, um die FE-Analyse sowohl effektiv, als auch realistisch zu gestalten.

Die konische und virtuelle zylindrische Form

Die ermittelten Abmessungen des konischne Filaments sind in Abbildung 3.2 dargestellt.
Abb.: Filamentgeometrie der konischen Form
Image kon_exp_geo
Die Geometrieuntersuchung hatte ergeben, dass sich das konische Filament in drei Teile einteilen lässt: zylindrisch, schwach konisch und konisch.

Wie eingangs bereits dargestellt, sollen zum direkten Vergleich mit den konischne Filamenten auch fiktive Filamente mit vollzylindrischer Form untersucht werden. Diese Filamente besitzen einen halbkugelförmig abgerundeten Kopf und einen Durchmesser, der dem zylindrischen Teil der konischen Filamente entspricht (s. Abb. 3.3).

Figure: Fiktive zylindrische Filamentgeometrie der konischen Filamente

 

Image kon_exp_geo_zylind

Die ADA-Filamente

Die Maße der ADA-Filamente sind in Abb. 3.4 dargestellt. Sie sind etwas küzer und dicker als die konischen Filamente.
Abb. 3.4:Filamentgeometrie der ADA-Filamente
Image ada_exp_geo
Es sei angemerkt, dass die Spitzenform der ADA-Filamente nicht halbkugelförmig sind, sondern eher einem Kegelstumpf entsprechen. In der FE-Analyse wird dies aber nicht berücksichtigt, da der der Unterschied zwischen Halbkugel und Kegelstumpf kaum Einfluß auf die Ergebnisse haben wird. Die ADA-Filamente werden also mit halbkugelförmiger Spitze modelliert.

E-Modul

Die konische und virtuelle zylindrische Form

Für die konischen Filamente ist das $sigma$-$varepsilon$-Diagramm der Versuche in Abb. 3.5 dargestellt.

 

Abb.: Spannung-Dehnungs-Diagramm unterschiedlicher Stützweiten für die konischen Filamente
Image Sigeps_kon

Der durchschnittliche E-Modul aller Messungen ergibt sich zu

begin{displaymath}nonumberE = 3800 ,frac{N}{mm^2} quad . end{displaymath}

Die ADA-Filamente

Für die ADA-Filamente sind die $sigma$-$varepsilon$-Kurven in Abb. 3.6 dargestellt.
Abb. 3.6: Spannung-Dehnungs-Diagramm aller Stützweiten für ADA-Filamente
Image Sigeps_ada

Der durchschnittliche E-Modul ergibt sich hier zu

begin{displaymath}	       nonumber	       E = 3500 ,frac{N}{mm^2} quad .	       end{displaymath}

FE-Analyse

Knickanalyse

Lineare Knickanalyse

Anmerkungen zur linearen Analyse

Bei der linearen Knickanalyse ist ein Eigenwertproblem zu lösen. Daraus erhält man Eigenwerte und -formen. Die Eigenwerte sind hier Laststeigerungsfaktoren und die Eigenformen entsprechen der Knickfigur.

Der Laststeigerungsfaktor $lambda$ sollte nicht mit der Knickkraft verwechselt werden. Diese ergibt sich erst aus

begin{displaymath}F_k = lambda, F_0 quad,	end{displaymath}

wobei $F_0$ die aufgebrachte Last bedeutet. In den folgenden Berechnungen wurden Lasten von $F_0=1,mathrm{N}$ aufgebracht. Damit kann man die Laststeigerungsfaktoren, in diesem speziellen Fall, auch direkt als Knickkräfte interpretieren.

Es werden hier die aufwendigeren Volumenmodelle gewählt, da die lineare Analyse nicht sehr rechenintensiv ist.

Virtuelles zylindrisches Filament

Bei der (fiktiven) zylindrischen Filamentform ergibt sich eine Knickkraft von
begin{eqnarray*} F_{mathrm{Knick}} &=& 0,00419258 ,mathrm{N}  &approx& 4,2 ,mathrm{mN} quad .end{eqnarray*}

Die Knickfigur ist in Abb. 4.9 dargestellt.
Abb. 4.9: 1. Knickfigur der zylindrischen Filamentform
Image fem_linknick_zyl
Sie entspricht der typischen Knickfigur für eine geraden Stab mit konstanten Querschnitt.

 

Anmerkung zu Ansys 4.2.1 (Knickebene in 3D)   Da die Knickanalyse im 3D-Bereich durchgeführt wurde, konnte man im Vorfeld nicht entscheiden in welcher Ebene das System ausknickt. Dies hängt von den numerischen Ungenauigkeiten der Berechnung ab. Deshalb wird das System in der Auswertung in die richtige Ebene gedreht, um die volle Knickfigur darstellen zu können. Dies kann man an dem leicht verschobenen Koordinatensystem erkennen.

Konisches Filament

Hier ergibt sich die kritische Knickkraft zu
begin{eqnarray*} F_{mathrm{Knick}} &=& 0,00023853 ,mathrm{N}  &approx& 0,24 ,mathrm{mN} quad . end{eqnarray*}

Die Knickfigur dieser Form ist in Abb. 4.10 dargestellt.
Abb. 4.10: 1. Knickfigur der konischen Filamentform
Image fem_linknick_kon
Es ist gut zu erkennen, dass hier nur die äußerste Spitze verformt ist. Das Filament knickt bereits bei einer sehr kleinen Kraft um. Dennoch herrscht noch genügend Stabilität im gesamten Filament. Die Knickkraft ist im Gegensatz zur zylindrischen Form, um einen Faktor von $17,5$ kleiner. Dies ist ein deutlicher Unterschied im Knickverhalten.

Betrachtet man die Knickfigur in Abb. 4.10, so hat es den Anschein, dass sich das Filament gegenüber dem Grundzustand (schwarz dargestellt) verlängert hat. Man kann auch eine scheinbare Aufweitung der Spitze wahrnehmen. In Abb. 4.11 ist dieser Bereich nochmals vergrößert dargestellt.

Abb. 4.11: Knickfigur an der Spitze
Image fem_linknick_kon1
Hier ist die Aufweitung durch die Verschiebungen in z-Richtung bestätigt. Es sei bemerkt, dass die Verschiebungen nur qualitative Aussagen zulassen, da sie der Eigenform entstammen und die Größe der Amplitude nicht festlegbar ist. Die ausgegebenen Werte entsprechen keinen tatsächlichen Verschiebungen.

Der Grund für die beschriebenen Effekte liegt in der linearen Theorie, welche hier zugrunde liegt. Sie setzt kleine Verschiebungen und Verzerrungen voraus, welche beispielsweise bei der zylindrischen Form gegeben sind. Das konische Filament hingegen weist an der Spitze relativ große Verformungen auf, welche aber auch mit der linearen Theorie bewertet werden. So bewegt sich ein Stab in der linearen Theorie nicht auf einem Kreisbogen, sondern auf der Tangente des Ausgangspunktes. Fernerhin greift hier die Normalenhypothese, die besagt, dass alle Querschnitte senkrecht zur Stabachse auch nach der Verformung senkrecht zu dieser stehen. In Abb. 4.12 ist dieses Verhalten nochmals veranschaulicht.

Abb. 4.12: Bedingungen der linearen Theorie und Auswirkung auf große Verformungen
Image fem_linknick_kon2

Um diese Effekte in der Berechnung zu vermeiden und das Ergebnis zu bestätigen, sollte hier zusätzlich eine geometrisch nichtlineare Knickanalyse durchgeführt werden.

Es gelten auch hier die Aussagen aus Anmerkung 4.2.1.

 

Das ADA-Filament

Die ADA-Filamente sind in der Problemstellung identisch zu den zylindrischen zylindrischen Filamenten. Es ändern sich nur die Abmessungen.

Es ergibt sich eine kritische Knickkraft von

begin{eqnarray*} F_{mathrm{Knick}} &=& 0,00633494 ,mathrm{N}  &approx& 6,3 ,mathrm{mN} quad . end{eqnarray*}

Die Knickfigur ist in Abb. 4.13 dargestellt.
Abb. 4.13: 1. Knickfigur der ADA-Filamentform
Image fem_linknick_ada
Das verformte System ist natürlich dem zylindrischen Filament sehr ähnlich. Durch den größeren Durchmesser der ADA-Filamente ist auch die Knickkraft entsprechend größer. Die Aussagen aus Anmerkung 4.2.1 sind auch hier zutreffend.

Nichtlineare Knickanalyse

Anmerkungen zur nichtlinearenlinearen Analyse

Bei einer nichtlinearen Knickanalyse kann man, im Gegensatz zur linearen Analyse, das System auch über den kritischen Punkt, was hier der Knickkraft entspricht, hinaus belasten. Dabei wird eigentlich kein Knickproblem, sondern vielmehr ein Spannungsproblem gelöst.

Damit ein System bei einer geometrisch nichtlinearen Analyse ausknickt, muss es imperfekt sein. D.h. man muss im System einen Fehler (z. B. in Material, Struktur oder Krafteinleitung) einbauen, um ein Ausknicken zu provozieren. Ein perfekt gerader Stab würde sonst nie ausknicken.

Die Imperfektion wird hier durch eine zusätzliche tangentiale Last definiert, welche am gleichen Punkt angreift wie die axiale Last. Dadurch ist die Krafteinleitung der Resultierenden nicht exakt axial sondern leicht schräg (s. Abb. 4.14).

Figure 4.14: Krafteinleitung mit Imperfektion
Image fem_nlinknick_imp
Die Größe der Imperfektion muss für jeden Fall angepasst werden. Sie darf nicht zu klein sein, da sonst die Lösung nicht konvergiert. Wählt man sie zu groß, kann nur schwer die Knickkraft bestimmt werden. In den hier berechneten Knicksituationen wurde meist ein Verhältnis von $F_mathrm{imp}:F$ von $1:1000$ gewählt.

Die Knickkraft selbst kann aus dem Kraft-Verschiebungs-Diagramm der Spitze abgelesen werden. Sie ist im Diagramm an der Stelle definiert, an der bei kleiner Laststeigerung große Verschiebungen auftreten. Im Graphen ist die Knickkraft damit an der Stelle des kleinsten Anstiegs zu finden.

Im Bereich der Knickkraft muss die Laststeigerung sehr klein sein, da sonst Schwierigkeiten in der Konvergenz auftreten. Allerdings kann die Last bis zu diesem kritischen Bereich in größeren Schritten gesteigert werden, da dort das System noch stabil reagiert. Aus diesem Grund wurde die Lösung in 3 Lastschritte eingeteilt:

  1. Lastschritt: Kraftbereich von $0dots F_{mathrm{stabil}}$, wobei $F_{mathrm{stabil}}< F_{mathrm{krit}}$ gilt.
  2. Lastschritt: Kraftbereich von $F_{mathrm{stabil}}dots F_{mbox{scriptsize {überkrit}}}$, wobei $F_{mathrm{krit}}< F_{mbox{scriptsize {überkrit}}}$ gilt.
  3. Lastschritt: Kraftbereich von $F_{mbox{scriptsize {überkrit}}} dots F$, wobei $F$ ein beliebige überkritische Last ist.
Der Bereich der kritischen Last kann mit den linearen Ergebnissen abgeschätzt werden. Die genauen Werte für $F_{mathrm{stabil}}$ und $F_{mbox{scriptsize {überkrit}}}$ wurden durch probieren ermittelt. Der 3. Lastschritt kann wie der 1. Lastschritt mit einer großen Schrittweite berechnet werden.

Für die folgenden Berechnungen wurde das kombinierte Balken-und Volumenmodell gewählt, um die Rechenzeit zu verkürzen und damit die Berechnung effizienter zu gestalten.

 

 

Anmerkung zu Ansys 4.2.2 (Automatic Time Stepping)   Bei Berechnungen bietet Ansys ein sog. Automatic Time Stepping an. Dies ist eine automatische Lastschrittsteuerung, die in Bereichen eines stabilen Systems große Zwischenschritte wählt und im Bereich der Instabilität die Zwischenschritte verkleinert bis die Lösung konvergiert. Dieses Verfahren wurde hier nicht angewendet, da der Bereich der kritischen Last bekannt ist und das Kraft-Verschiebungs-Diagramm durch manuelles definieren der Zwischenschrittgröße, genauer dargestellt werden kann.

Virtuelles zylindrisches Filament

Bei den zylindrischen Filamenten ergibt sich die Verformung ähnlich der linearen Analyse. Die Verformung des letzten Lastschrittes ist in Abb. 4.15 dargestellt.
Figure 4.15: Verformte Struktur im letzten Lastschritt
Image fem_nlinknick_zyl
Die Verschiebungen sind natürlich größer als bei der linearen Analyse, da über den kritischen Punkt hinaus belastet wurde. In diesem Bereich erfährt das System einen großen Verformungszuwachs bei kleiner Laststeigerung. Dies ist gut im Kraft-Verschiebungs-Diagramm (s. Abb. 4.16) zu erkennen.
Figure: Kraft-Verschiebungs-Diagramm der Spitze des zylindrischen Filamentes (Einheiten: $[F]=mathrm{N},[uy]=mathrm{mm}$)
Image fem_nlinknick_zyldia
Es tritt, solange die Knickkraft nicht erreicht ist, kaum eine Verschiebung auf. Dann knickt die Kurve langsam um, bis sie fast die Horizontale erreicht. Dort ist der kritische Punkt und damit die Knickkraft zu finden. Sie liegt hier bei
begin{displaymath}F_{mathrm{knick}} approx 4,2 , mathrm{mN} quad .end{displaymath}

Dies entspricht dem ermittelten Wert aus der lineare Analyse. So ist die nichtlineare Untersuchung eine gute Bestätigung der linearen Ergebnisse. Nach Erreichen der Knickkraft verläuft die Kurve leicht parabelförmig weiter.

 

Anmerkung zu Ansys 4.2.3 (Plotten von Graphen)   Wie man erkennen kann, beginnt der Graph nicht bei Null. Die Ursache hierfür liegt bei Ansys. Es werden nämlich nur die Punkte geplottet, die auch berechnet wurden. Der erste Punkt wird durch die Schrittweite vorgegeben und liegt so nicht bei Null. Da der erste Lastschritt im Modell mit einer großen Schrittweite versehen ist, liegt der erste Berechnungspunkt auch weiter von Null entfernt.

Konisches Filament

Entgegen der zylindrischen Filamente, ist die Berechnung hier eine wirkliche Kontrolle der linearen Analyse. Dort wurden Effekte entdeckt, welche mit der linearen Theorie erklärt wurden. Folglich dürften diese Effekte in dieser nichtlinearen Analyse nicht auftreten.

Das verformte System ist in Abb. 4.17 dargestellt.

Figure 4.17: Verformungsbild der konischen Filamente im letzten Lastschritt
Image fem_nlinknick_kon
Wie man sehen kann, ist nur die äußerste Spitze verformt worden. Auch hier wurde über den kritischen Bereich hinaus belastet. Das Kraft-Verschiebungs-Diagramm ist in Abb. 4.18 zu sehen. Hier gelten ebenfalls die in Anmerkung 4.2.3 gemachten Aussagen.
Figure: Kraft-Verschiebungs-Diagramm der Spitze des konischen Filamentes (Einheiten: $[F]=mathrm{N},[uy]=mathrm{mm}$)
Image fem_nlinknick_kondia
Es ist wieder der markante Verlauf des Graphen zu erkennen, was für ein Knickproblem sehr typisch ist. Bis zu Erreichen des Knickpunktes bleibt das System stabil und die Verformung gering. Danach dreht sich der Fall um und es ist auch hier ein leicht parabelförmiger Verlauf zu erkennen. Die Knickkraft lässt sich hier ablesen zu
begin{displaymath}F_{mathrm{knick}} = 0,24 , mathrm{mN} quad .end{displaymath}

Dies entspricht dem Wert der linearen Analyse.

In dem Verformungsbild kann man erkennen, dass die Spitze nicht verlängert erscheint, wie es in der linearen Analyse der Fall war. Stellt man sich diesen Bereich vergrößert dar, wird es noch deutlicher (s. Abb. 4.19).

Figure 4.19: Summe der Verschiebungen im Bereich der Spitze
Image fem_nlinknick_kon1
Auch eine Aufweitung ist nicht zu erkennen. Im Gegenteil, die Verformung entspricht den Vorstellungen.

Das ADA-Filament

Die ADA-Filamente sind wieder mit den virtuellen zylindrischen Filamenten vergleichbar. Die verformte Struktur (s. Abb. 4.21) zeigt ein großes Ausknicken, da der kritische Punkt überschritten wurde.
Figure 4.21: Verformungsbild der ADA-Filamente im letzten Lastschritt
Image fem_nlinknick_ada
Auch der Kraft-Verschiebungs-Verlauf (s. Abb. 4.22) ist den beiden vorangegangenen ähnlich.
Figure: Kraft-Verschiebungs-Diagramm der Spitze des ADA-Filamentes (Einheiten: $[F]=mathrm{N},[uy]=mathrm{mm}$)
Image fem_nlinknick_adadia
Es wird wieder die Kraft $F$ über den Verschiebungsweg der Spitze in y-Richtung dargestellt. Die Knickkraft ergibt sich hier zu
begin{displaymath}F_{mathrm{knick}} = 6,3 , mathrm{mN} quad .end{displaymath}

Auch dieser Wert befindet sich mit dem linearen Wert in Übereinstimmung.

Ergebnis

Die Ergebnisse der linearen Analyse stimmen mit denen der nichtlinearen Analyse überein. Sie sind hier nochmals zusammengetragen.
Filamentartvirtuell zylindrischkonischADA
$F_mathrm{knick}$ in $frac{mathrm{N}}{mathrm{mm}^2}$$4,2$$0,24$$6,3$

Bei der Knickanalyse stellte sich heraus, dass das konische Filament bei einer viel geringeren Kraft knickt als die zylindrischen Filamente. Die Knickkraft ist in Bezug auf das virtuelle zylindrische Filament um ein 17,5-faches, und in Bezug auf das ADA-Filament sogar um ein 26,25-faches kleiner.

Berechnet man die Knickkraft für eine ganze Zahnbürste, unter der Annahme, dass alle Filamente gleichzeitig und rein axial belastet werden, so erhält man für die Zahnbürste mit konischen Filamenten eine Gesamtknickkraft von

begin{displaymath} F_{mathrm{knick,konisch}}= 0,4 ,mathrm{N} < F_{mathrm{Putz}}=2,mathrm{N}quad .end{displaymath}

Das bedeutet, die Filamente knicken bereits vor Erreichen der optimalen Putzkraft um.

Für die zylindrischen Filamente ergeben sich

begin{eqnarray*}F_{mathrm{knick,ada}}&=& 9,45 ,mathrm{N} > F_{mathrm{Putz......}&=& 7,14 ,mathrm{N} > F_{mathrm{Putz}}=2,mathrm{N} quad .end{eqnarray*}

D.h. diese Filamente knicken erst weit über der angegebenen Putzkraft um. Sie verhalten sich so viel steifer als die konischen Filamente.

Natürlich lässt dieses Ergebnis keine generelle Aussage zu, da es unter der Annahme des idealen Knickens ermittelt wurde. Tatsächlich ist der Putzvorgang aber eine Kombination aus Knicken und Biegung, wobei auch das Kontaktverhalten der Filamente mit den Zähnen berücksichtigt werden muss.

Zusammenfassung

Ziel dieser Diplomarbeit war es, das mechanische Verformungsverhalten sowie das Kontaktverhalten von Zahnbürstenfilamenten unterschiedlicher Geometrien zu bewerten. Es wurden dazu drei Filamenttypen untersucht. Zum einen die konische Geometrie, zum zweiten die fiktive zylindrische Geometrie mit den Parametern der konischen Form und zum dritten die zylindrischen Filamente der ADA Zahnbürste.

Die Simulation erfolgte mit Hilfe der FEM. Im Vorfeld der FE-Analyse wurden die wichtigsten Material-und Geometriewerte experimentell ermittelt, um eine möglichst realistische Berechnung zu gewährleisten. Die Berechnung des Knickverhaltens ergab, dass das konische Filament bei einer viel geringeren Kraft ausknickt als die zylindrischen Filamente. Durch einen geringeren Durchmesser ist die Knickkraft der fiktiven zylindrischen Filamente kleiner als die der ADA-Filamente. Mit der idealen Putzkraft knicken allerdings nur die konischen Filamente während der Belastung. Die zylindrischen Filamente bleiben bei dieser Kraft stabil.


Ausblick

Weitere Arbeits- und Lösungsansätze unterliegen der Vertraulichkeit und können hier nicht weiter ausgeführt werden.


Quellen

Bathe 1990
Bathe, K.-J., Finite-Elemente-Methoden, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1990
Breme 1996
Breme, J., Finite-Elemente-Analyse einer vollkeramischen ZahnklebebrÌcke, Werkstoffwoche `96, Symposium 4-Werkstoffe fÌr die Medizintechnik, DGM-Informationsgesellschaft Verlag Frankfurt, 1996
Dankert 1995
Dankert, H.; Dankert J., Technische Mechanik, B.G. Teubner Verlag Stuttgart, 2. Auflage, 1995
Ehrenstein 2002
Ehrenstein, G. W., Mit Kunststoffen konstruieren: Eine EinfÌhrung, Hanser Verlag MÌnchen Wien, 2. Auflage, 2002
Erhard 1999
Erhard, G., Konstruieren mit Kunststoffen, Hanser Verlag MÌnchen Wien, 2. Auflage, 1999
Fischer 1999
Fischer, U.; Heinzler, M. u.a., Tabellenbuch Metall, Verlag Europa-Lehrmittel Haan-Gruiten, 41. Auflage, 1999
GABA 2002
GABA International AG, Scientific Facts-meridol© Toothbrush with conical filaments, GABA International AG, MÌnchenstein, Schweiz, 2002
Holzweissig 1989
Holzwei�?ig, F.; Göldner H., Leitfaden der technischen Mechanik, VEB Fachbuchverlag Leipzig, 11. verbesserte Auflage, 1989
Mueller 1999
MÌller, G.; Groth, C., FEM fÌr Praktiker, Expert Verlag Renningen-Malmsheim, 4. aktualisierte Auflage, 1999
Szabo 1960
Szabó, I., Höhere Technische Mechanik, Springer-Verlag Berlin/Göttingen/Heidelberg, 3. Auflage, 1960
Wriggers 2001
Wriggers, P., Nichtlineare Finite-Element-Methoden, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002

 

Originalarbeit

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Über den autor

Über den Autor


 

Dipl.-Ing. (FH) Stephan Schönfelder, geboren am 04.03.1980 in Zerbst (Sachsen-Anhalt).

 

Schulbildung

1986-1990Reyerschule Gotha (Grundschule)
1990-1998Gustav-Freytag-Gymnasium
erfolgreicher Abschluss mit Abitur
(Leistungskurse Mathematik, Physik)

Studium

10/1999-12/2003Studium des Maschinenbaus an der HTWK Leipzig (FH)
Vertiefung: Allgemeiner Maschinenbau/Konstruktion
Abschluss: Dipl.--Ing. (FH)
06/2003-10/2003Anfertigen der Diplomarbeit am Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik Halle
Thema der Diplomarbeit: "Bewertung des mechanischen Verformungsverhaltens von Filamenten von Zahnbürsten unterschiedlicher Geometrien"
04/2002-12/2002Studentische Hilfskraft im Bereich Technische Mechanik und Rechneranwendungen (FEM)

Praktika

07/1998-08/1998Praktikum im ZF Getriebewerk Gotha
09/2001-02/2002Praktisches Studiensemester bei ZF Passau GmbH in Passau
Bereich Prüfsysteme/Konstruktion

Berufserfahrungen

01/2004-06/2004Wissenschaftliche Hilfskraft am Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik Halle
seit 06/2004Mitarbeiter und Doktorand am Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik Halle, Bereich Mikromechanische Komponenten
Promotionsthema: "Festigkeit und Zuverlässigkeit dünner Halbleitermaterialen"

Auszeichnungen

08.05.20042. VDI Förderpreis 2004 für Allgemeine Ingenieur--und Naturwissenschaften des Bezirksvereins Leipzig e.V. für die eingereichte Diplomarbeit

 

Impressum

Autor

Stephan Schönfelder
Dieskauer Str. 18
06112 Halle
kaeptn13.5(at)gmx.de
Betreuer (HTWK)

Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn
Technische Mechanik / Rechneranwendung
FB Maschinen- und Energietechnik / HTWK Leipzig
Koburger Str. 62,
D 04416 Markkleeberg
kloehn(at)me.htwk-leipzig.de
Betreuer (Betrieb)

Dr. Matthias Petzold
Leistungsbereichsleiter
und Dr. Matthias Ebert
Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik Halle
Heideallee 19
06120 Halle
matthias.petzold(at)iwmh.fraunhofer.de

State of the Art - Zum Stand der Technik

Charakterisierung von Hybridstrukturen

Ein Hybrid besteht aus mindestens zwei oder mehreren Komponenten, die durch den gleichzeitigen Einsatz in einem Systemverbund ein neues Eigenschaftsprofil besitzen. Je unterschiedlicher die Werkstoffkategorien ursprünglich sind, desto größer ist das erzielbare Verbesserungspotenzial, wenn dabei jeweils die Vorteile der einen Komponente die Nachteile der anderen ausgleichen können. Ein solches unterschiedliches Portfolio an Eigenschaften zeigen Kunststoffe und Metalle. Zum Beispiel weisen Metalle hohe Festigkeiten und Steifigkeiten auf, hingegen sind Kunststoffe mit hohen Bruchdehnungen gutmütiger für Verformungen. Die Automobilindustrie erkannte das Potential der Werkstoffkombination. Audi führte mit dem Frontend des Audi A6 1998 das erste Großserien-Hybridbauteil ein. Damit konnten Gewichtseinsparungen von 15 % erreicht werden, bei gleichzeitiger Verringerung der Herstellungskosten um 10 % [3].

Das Ziel der Hybridkonstruktion liegt darin, eine kosten- und ressourcensparende Lösung zu entwickeln, die Vorteile kombiniert und Nachteile kompensiert. In Tabelle 2.1 sind die Eigenschaften der beiden Verbundpartner dargestellt.

 

Tab. 2.1: Eigenschaften von Metallen und Kunststoffen [4,5]