Entwicklung und Anwendung von FE–Modellen für Polysilizium auf Kornstrukturebene basierend auf der mikroskopischen Strukturaufklärung von Kristallen mit EBSD

 

Development and Application of Grain Scale FE-Models for Polysilicon based on EBSD Mappings

 

Sebastian Knorr

01.11.2005

 

Inhaltsverzeichnis

1. Übersicht

2. Einführung

3. Zum Stand Der Technik - State of the Art

4. Zur Theorie

5. Ergebnisse

6. Zusammenfassung

7. Ausblick

8. Quellen

9. Originalarbeit

10. Über den Autor

11. Impressum

 

Übersicht

Bauteile der Mikrosystemtechnik, wie z. B. Beschleunigungssensoren für die Airbagauslösung oder Drehratensensoren für die Fahrdynamikregelung, werden heutzutage in der Regel aus polykristallinem Silizium gefertigt. Dabei werden die Strukturen zunehmend verkleinert, um eine kostengünstigere Produktion zu gewährleisten. Dabei tritt der Effekt auf, dass die Korngröße, die üblicherweise bei diesen Materialien 0,5 µm und 2 µm beträgt, in die gleiche Dimension wie die Strukturelemente (5 µm bis 10 µm) gelangt. Dadurch besteht der Querschnitt einer mikromechanischen Struktur nur aus wenigen Kristalliten bzw. bei weiterer Verkleinerung nur noch aus einem Korn. Dies führt zum Beispiel bei Mikroschwingern zur stärkeren Streuung der Eigenfrequenzen bei gleicher Bauteilgeometrie, Dieses Verhalten kann bei einer Annahme von homogenen isotropen Materialeigenschaften nicht ausreichen beschrieben werden. Für ein tiefergreifendes Festigkeitsverständnis dieser Bauteile ist es daher notwendig, die reale Kornstruktur in die numerischen Berechnungen mit einzubeziehen, um deren Auswirkungen direkt zu analysieren. Ziel der vorliegenden Arbeit war es, reale Kornstrukturen und deren Eigenschaften in eine numerische Finite- Elemente (FE) Simulation einzubinden und die Auswirkung der kornorientierungsbedingten Steifigkeitsunterschiede auf die auftretende Spannung im Korngefüge zu untersuchen. Als Datenbasis für die räumlich verteilten Eigenschaften des Gefüges wurden EBSD -Messungen an polykristallinem Silizium verwendet.

Der im Rahmen einer vorangegangenen Studienarbeit entwickelte Ansatz zur Übertragung der EBSD- Korngefüge direkt in FE- Modelle wurde und das zugehörige Programm GVECT wurden weiterentwickelt. Es bietet die Möglichkeit, die Orientation-Maps in Input-Dateien für die FE Programme ANSYS und ABAQUS umzusetzen. Zu diesem Zweck werden in den EBSD-Bilddaten die Korngeometrien erkannt, deren Umrandungen in ein polygonales Netz umgewandelt und der Berechnungssoftware in Form von Geometrieerzeugungsbefehlen übergeben. Die Kristallorientierungen der einzelnen Körner können bei entsprechender Ausgabe durch das EBSD-Programm aus den RGB-Farbanteilen der Kornflächen ermittelt werden. Sie werden in Form von gedrehten lokalen Koordinatensystemen an die FE-Software übergeben. Aus den zweidimensionalen Kornbildern entstehen 3D-Modelle durch Extrusion der vektorisierten Struktur, was eine gute erste Näherung für die in der Realität stäbchenförmig aufwachsenden Siliziumkörner darstellt.

Um das Potenzial des erarbeiteten Verfahrens zu zeigen, wurden exemplarische Untersuchungen verschiedener Kornstrukturen durchgeführt. Dazu wurden bei gleich bleibender einachsiger Belastung die Gitterrichtungen ausgewählter Kristallite variiert und die Veränderungen im Spannungs- und Dehnungsbild beobachtet sowie anhand von Häufigkeitsverteilungen beurteilt. Es zeigten sich Spannungsüberhöhungen von ca. 30 bis 40% in einzelnen Körnern, sowie allgemein höhere Spannungen an den Korngrenzen und den Tripelpunkten. Insbesondere letztere sind aber aufgrund von Kerbwirkungen an diesen Stellen quantitativ schwer zu bewerten, da es hier zu einer starken lokalen Netzabhängigkeit der Ergebnisse aufgrund von Spannungssingularitäten kommt. Zur Lösung dieses Problems wurden mit einem für ABAQUS-Inputdateien entwickelten Algorithmus kohäsive Elemente entlang der Korngrenzen in die Modelle integriert, die singuläre Spannungen beseitigen sollen und die es ermöglichen Rissverläufe entlang der Korngrenzen zu simulieren, wie sie auch in entsprechenden Versuchen zu beobachten sind.

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit konnten grundlegende Methoden zum Erstellen von Kornstruktur-Modellen für Finte-Element-Simulationen entwickelt werden, die es ermöglichen, räumliche Spannungsverteilungen bei Belastung zu beobachten und das Bauteilverhalten realitätsnäher zu beschreiben. Versagensvorgänge können anhand von Risssimulationen nachgebildet und in weiteren Untersuchungen mit experimentellen Ergebnissen verglichen werden.

 


 

Small mechanical components e.g. acceleration sensors in car airbags or rotational sensors to control driving dynamics are mainly made of silicon. To reduce production costs the dimensions of this structures are getting smaller. Due to that fact the size of this structures (5 µm the 10 µm) is nearly in the same range as the typical size of polysilicon grains (0.5 µm to 2 µm). So it is possible to have only a few or even one grain in the cross section of a small mechanical part. This leads for instance to higher variations in eigenfrequencys of small oscillators and to significant changes in the stiffnes of the whole component. With the isotropic material model normally used for the such polysilicon components it is not possible to calculate this effects. To deeply understand the behaviour of such small near grain size parts its essential to understand the influence of the grains, their arrangement and orientation. The goal of this work was to include the geometrical and mechanical properties of real grain structures to models for numerical simulations of small polysilicon components. That will give the possibility to calculate the grain orientation dependent stress states and the component stiffness. For this simulations the spatial distribution of the grains, their geometries and mechanical properties (crystal lattice orientations) are needed and were measured with the EBSD method.

 

Einführung

In Zeiten zunehmender Verbreitung mikromechanischer Komponenten, zum Beispiel im Automobilbau, in der Luft- und Raumfahrt sowie in der Unterhaltungselektronik, ist es wichtig, die Haltbarkeit solcher Bauteile möglichst zuverlässig vorhersagen zu können. Gerade im Bereich der Sensorik, wo möglicherweise sicherheitsrelevante Daten (Beschleunigungssensor im Airbag) generiert werden, muss eine korrekte Funktion der mechanischen Komponente über die gesamte Lebensdauer gewährleistet werden. Dem entgegen steht die immer weiter fortschreitende Miniaturisierung der Bauteile. Diese macht es um so notwendiger beim Übergang zu neuen Größenskalen genau zu prüfen, ob ein Bauteil korrekt die Funktion erfüllen kann. Eine bloße Skalierung der Bauteildimensionen (entsprechend den Randbedingungen) auf Grundlage der in einem anderen Größenbereich gewonnenen Erfahrungen reicht meist nicht aus, da die dort zur Auslegung einer Komponente verwendeten Methoden ihre Gültigkeit verlieren können.

In dieser Arbeit werden speziell mikromechanische Komponenten bestehend aus Silizium betrachtet. Nachdem Silizium in mikroelektronischen Schaltungen seit Jahrzehnten etabliert ist und die Schlüsselrolle der modernen Halbleitertechnologie einnimmt, hat es sich auch im Bereich mikroskopisch kleiner mechanischer Bauteile durchgesetzt. Das ist nahe liegend, bedenkt man die aus der Mikroelektronik schon lange bekannten Technologien zur Verarbeitung von Silizium (Waferherstellung, Ätztechniken) und die damit verbundenen Einsparungen bei der Entwicklung von Produktionstechnologien. Die Verfahren zur Herstellung mikroelektronischer Schaltkreise können häufig auch für die Fertigung mikromechanischer Bauteile verwendet werden. Ein weiterer Vorteil der Nutzung von Silizium für miniaturisierte mechanische Komponenten ist die leichtere Integrierbarkeit der Bauteile in elektronische Schaltungen, die ja ebenfalls aus Si bestehen. So lassen sich auf einem Wafer sogenannte MEMS1-Schaltungen herstellen. Vor allem bei Sensorsystemen ist das sehr vorteilhaft, da die Bewegung der mechanischen Sensorkomponente meist über sich verändernde elektrische Felder gemessen wird. Allerdings ist auch zu erwähnen, dass der Werkstoff zwar eine hohe Festigkeit aufweist, aber auch sehr spröde ist und bei Überbeanspruchung somit ohne Vorankündigung oder größere irreversible Verformung innerhalb weniger Nanosekunden bricht. Letztgenannte Eigenschaft macht es umso wichtiger, eine Überbeanspruchung möglichst auszuschließen. [1]

Zur Auslegung mikromechanischer Komponenten können analytische Verfahren verwendet werden, sofern einfache Geometrien vorliegen oder nur ein überschlägiges Ergebnis der Bauteilbeanspruchung benötigt wird. Zum genaueren Erfassen höchstbelasteter Stellen und um eine beanspruchungsgerechte Konstruktion zu ermöglichen, wird die seit vielen Jahren erfolgreich eingesetzte Finite-Elemente-Methode verwendet. Für Risssimulationen kommt teilweise auch die Randelemente-Methode zur Anwendung. Die Simulation sehr kleiner mechanischer Bauteile erfolgt häufig ohne Berücksichtigung der mit Verkleinerung der Komponeneten an Bedeutung gewinnenden Mikrostruktur. So werden meistens die Materialeigenschaften im gesamten Modell als völlig gleich angenommen. Dies ist bei polykristallinen Werkstoffen üblich, da man von einer Gleichverteilung aller Kornorientierungen ausgehen kann, womit sich ein quasi isotropes Verhalten ergibt. Es erfolgt also eine Mittelung der Eigenschaften über alle Körner. Wird nun das betrachtete Bauteil immer kleiner, so wird auch über immer weniger Bereiche (Körner) gemittelt. Es kann zu einer Ungleichverteilung kommen und damit zu anderen globalen mechanischen Eigenschaften für eine bestimmte Belastungsrichtung. Somit liegt möglicherweise die vorausgesetzte Gleichverteilung aller Gitterrichtungen nicht mehr vor und die mit homogenen Materialeigenschaften durchgeführten Rechnungen liefern bei kleinen Komponenten falsche Ergebnisse. Dies kann sowohl für die gesamte Systemantwort auf eine Belastung als auch für lokale Spannungsverläufe gelten und ist eine mögliche Erklärung für die große Streuung der Festigkeiten kleiner Siliziumbauteile (Spannungskonzentrationen, Biegung bei Zugbelastung).

Um also bei mikroskopischen Strukturen die Genauigkeit der Berechnungen zu erhöhen und um die genannten Effekte zu verstehen, erscheint es sinnvoll, die Mikrostruktur des Polykristalls einer genaueren Betrachtung zu unterziehen. Als erster Schritt soll daher eine Einbindung der Kornstruktur in die Finite-Element-Berechnungen erfolgen. Dies hatte die Studienarbeit [2] zum Ziel und wird hier fortgesetzt. Weiterhin wird untersucht, ob und wie stark sich die Mikrostruktur auf Berechnungsergebnisse und auf die Festigkeit auswirkt. Zu diesem Zwecke wird diese Arbeit theoretische und praktische Probleme, die sich aus solchen heterogenen Modellen ergeben, aufzeigen sowie an die Studienarbeit [2] anknüpfend die Modellerstellung erweitern und verbessern. Anschließend werden Vergleichsrechnungen und systematische Untersuchungen mit den Modellen durchgeführt. Zum Abschluss erfolgt die Einarbeitung eines Kohäsivzonenmodells an den Korngrenzen zur Minderung des Singularitätsproblems.

1Micro-Electro-Mechanical-Systems

 

 

Zum Stand Der Technik - State of the art

Die beiden unten aufgeführten Abschnitte der Diplomarbeit stellen die zur Aufnahme der Kornstrukturen verwendete Technik vor und erläutern bisherige Entwicklungen im Bereich der Vektorisierung von Kornstrukturen.

  • EBSD-Verfahren zur Kornerkennung
  • Vektorisierung von EBSD-Messungen

EBSD-Verfahren zur Kornerkennung

Die Grundlage der Electron Backscatter Diffraction bilden die 1928 von Kikuchi bei Elektronenbeugungsversuchen (Durchstrahlverfahren) an einer dünnen Glimmerschicht entdeckten und später nach ihm benannten Linien oder Bänder im Beugungsbild. Die ersten Aufnahmen solcher Beugungsbilder nach dem Rückstrahlverfahren veröffentlichte Alam 1954. In seinen Versuchen wurden die Muster für unterschiedliche Orientierungen einer Bleisulfidprobe aufgenommen. Mit Verfügbarkeit der gerade entwickelten Rasterelektronenmikroskopie konnten ab 1967 in größerem Umfang Elektronenstrahlbeugungsmuster abgebildet werden. Die ersten computerunterstützten Indizierungssysteme für die Kikuchi Linien und Bänder entstanden zwischen 1982 und 1984. Ab 1990 waren vollautomatische Systeme verfügbar. Zwei Jahre später entstand die erste Aufnahme einer Kornstruktur mit zugeordneten Gitterrichtungen. Seit dieser Zeit wurden diverse Verbesserungen vorgenommen, so dass sich die Qualität der Bilder ständig erhöhte und die Geschwindigkeit der Aufnahme stieg. Heute ist man dank dieser Entwicklungen in der Lage, Körner und Korngrenzen auf der Oberfläche einer Probe zu erkennen und in digitales Bildmaterial umzusetzen, sowie Parameter einer Kornstruktur wie die Korngrößen, Gitterrichtungsverteilungen, Texturen usw. computergestützt auszuwerten. [5]

Zur Bilderstellung wird mit einem Rasterelektronenmikroskop (REM) Punkt für Punkt eine Probe abgefahren, welche unter einem 70°-Winkel zum Elektronenstrahl ausgerichtet ist. Die Elektronen werden an den Gitteratomen gebeugt und zurückgestreut. Im Rückstrahl ist ein Phosphorschirm platziert, auf dem das Beugungsbild entsteht. Dieses Bild wird von einer Kamera aufgezeichnet, an den Rechner übertragen und dort ausgewertet. Dabei werden die Kikuchi-Linien erkannt und den entsprechenden Gitterebenen zugeordnet. Dies ist möglich, da jedes Band (zwei parallele Beugungslinien) der Streuung von Elektronen an einer bestimmten Lage von Atomen im Kristall zugeordnet werden kann. So kann die Lage der Elementarzelle in der Probe für jeden angefahrenen Punkt bestimmt werden. Die entstehenden Daten werden dann zu einer Orientierungskarte der Probe zusammengesetzt. Über die Orientierungsabweichung (Misorientation) benachbarter Bereiche lässt sich anschließend die Lage der Korngrenzen ermitteln. Bild 2 zeigt das Ergebnis einer solchen Aufnahme am Beispiel einer L-Teststruktur aus Polysilizium. [5]

 

Figure 2: EBSD-Aufnahme der Oberfläche einer Polysiliziumstruktur
Image EBSD

Wie man in Abb. 2 erkennt, können nicht immer alle Bereiche zugeordnet werden. Dies kann durch Oberflächenfehler, aufgrund mangelhafter Präparation oder durch statische Aufladung der Probe geschehen. Diese "`Löcher"' können anschließend mit der EBSD-Software geschlossen werden. Dabei werden sie gleichmäßig mit umliegenden Orientierungen aufgefüllt. Zusätzlich ist die rohe Messung durch ein sich in viele kleinen Artefakten niederschlagendes Rauschen gestört, welches anschließend von der Software durch einen Bildbereinigungsalgorithmus entfernt werden kann. Als Maßgabe für die Löschung solcher Artefakte sollte dabei ihre Größe im Verhältnis zur Abtastgenauigkeit der Probe dienen. So ist es sinnvoll, Artefakte und Kleinstkörner, die nur aus zwei bis vier Messpunkten bestehen, zu löschen und die Punkte den umliegenden Körnern zuzuordnen. Auf diese Weise gehen natürlich Daten verloren, was zu Fehlern im Kornbild führt, da die identifizierten Kleinstkörner ja nicht alle auf Messfehler des EBSD-Systems zurückgehen müssen. Da allerdings im vorliegenden Fall die Bilder Grundlage für eine Vektorisierung sein sollen, die weder Kleinstkörner noch Poren oder andere Unreinheiten berücksichtigen kann, ist davon auszugehen, dass die so gewonnenen bereinigten Daten hinreichend genau sind. Inwiefern das abschließende Ergebnis zufrieden stellend ist, kann man zum Beispiel durch Vergleich der Korngrößenverteilungen der Ausgangsdaten mit dem Vektorisierungsergebnis oder durch bloße visuelle Gegenüberstellung des EBSD- und des vektorisierten Bildes feststellen (siehe Abschnitt 5.1).

Vektorisierung von EBSD-Messungen

Um ein Modell eines Bauteils mit integrierter Kornstruktur erstellen zu können, mussten zuerst Möglichkeiten gefunden werden, die Kornstruktur und deren Eigenschaften in ein FE-Programm zu überführen. Trotz der in [2] beschriebenen Arbeit wurde erneut zu diesem Thema recherchiert und verschiedenen Hinweisen in der Literatur nachgegangen. Dabei sind insbesondere die Entwicklungen von Demirel et al. [6] und das Programm OOF [7] hervorzuheben. Das Tool LaGriT [6] stellt einen Netzgenerator für ein eigenes FEM-Programm dar und setzt weder selbständig Orientierungsinformationen um, noch bietet es einen Ausgabe für ANSYS. Das Programm OOF scheidet aus, denn es ist ebenfalls ein selbständiges Finite-Element-Programm, welches keine automatisierte Orientierungszuweisung aufgrund der Pixelfarben bietet (nur manuell möglich) und zudem nur zweidimensionale Berechnungen unterstützt. Weitere Hinweise auf Möglichkeiten zur Vektorisierung fanden sich in der Arbeit von Mishnaevsky und Schmauder [8], keiner führte allerdings zu einem Programmsystem, welches die Anforderungen erfüllt, die durch die vorliegende Aufgabe gestellt werden. Aus diesen Gründen wurde auf das im Rahmen der Studienarbeit entwickelte Programm GVect zurückgegriffen. Da es sich um eine Eigenentwicklung handelt, besteht zusätzlich der Vorteil die Software schnell modifizieren und an die Anforderungen der Untersuchungen anpassen zu können, was bei fremden Programmen meist nicht ohne Weiteres möglich ist.

 

Figure 3: vektorisierter Ausschnitt einer EBSD-Aufnahme
Image Vektorisierung2

GVect dient zur Erstellung von ANSYS Inputdateien (APDL4) zur Geometriebeschreibung für Simulationsmodelle. Die erzeugten Geometrien basieren auf Mikrostrukturbildern die mit dem EBSD-Verfahren erzeugt wurden. Durch einen einfachen Algorithmus werden in einer Grafik Korngrenzen und Körner erkannt und vektorisiert. Es entsteht für jeden Kristallit ein geschlossenes Polygon. Zudem wird für jedes dieser Polygone die aus dem mittleren Farbwert der korninneren Pixel berechnete Orientierung des Kristallgitters gespeichert. Anschließend erstellt die Software aus diesen Informationen ein APDL-Skript mit Befehlen zur Geometrieerzeugung (Knoten, Linien und Flächen) für das FEM-Programm ANSYS sowie gedrehten lokalen Koordinatensystemen für alle Elemente eines Kornes. Die verwendeten Algorithmen setzen ein möglichst sauberes EBSD-Bild ohne nicht zugeordnete Bereiche mit geschlossenen, ein Pixel dicken Korngrenzen und möglichst ohne Körner im Inneren anderer Körner voraus. So ist es notwendig, die aus den Messungen gewonnen Bilder wie oben beschrieben im EBSD-Auswertemodul "`Tango"'5 selbst oder mit einem Grafikprogramm von Hand aufzubereiten. Abschnitt 3.2 beschreibt eine weitere Möglichkeit zur Bildaufbereitung, die im Laufe dieser Arbeit in das Programm integriert wurde.

4ANSYS Parametric Design Language, Skriptsprache zur Automatisieren von Aufgaben oder zur Modellerstellung für das Finite-Element-Programm ANSYS

5Teil des EBSD-Messsystems, der zur Auswertung der Messergebnisse dient.

 

 

Zur Theorie

Dieser Abschnitt enthält Auszüge aus dem Kapitel Grundlagen der Diplomarbeit.

  • Eigenschaften und Werkstoffparameter von Silizium
  • Methoden der Mikromechanik
  • Auswirkungen der Korngeometrien auf die Simulationsergebnisse

Eigenschaften und Werkstoffparameter von Silizium

Silizium steht an Position 14 im Periodensystem der Elemente und ist ein Halbmetall. Am häufigsten kommt es auf der Erde in oxidierter Form vor2. Durch Reduktion von Siliziumdioxid wird reines Silizium gewonnen. Anschließend ist es möglich in verschiedenen chemischen Prozessen die Reinheit des Stoffes zu erhöhen. Danach kann zum Beispiel durch Tiegelziehen ein monokristalliner Siliziumstab erzeugt werden, der als Grundlage zur Waferherstellung dient. Tabelle 1 enthält eine Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften des Siliziums.

 

Table 1: Silizium Eigenschaften

begin{threeparttable}parbegin{tabular}{p{5cm} p{3cm}}hlineKristallstru......cite{MEMSMechProps}, stark größenabhängigend{tablenotes} end{threeparttable}

Die hier betrachteten mechanischen Komponenten bestehen aus Polysilizium. Da dieses aus monokristallinen Bereichen besteht, werden im Folgenden die wichtigsten mechanischen Eigenschaften des Einkristalls näher beschrieben, bevor auf die sich daraus ergebenden Konsequenzen für den Vielkristall eingegangen wird.

Monokristallines Silizium weist die für ihre besondere Härte bekannte Diamantstruktur auf. Es liegen also zwei um ein Viertel Periode ineinander versetzte kubisch flächenzentrierte Gitter vor. In dieser Konstellation ist jedes Si-Atom durch kovalente Einfachbindungen mit jeweils vier weiteren Atomen verknüpft, die tetraederförmig angeordnet sind. Aufgrund der Konstellation der Atome und der Bindungen ergeben sich unterschiedliche Steifigkeiten für verschiedene Gitterrichtungen. Diese Richtungsabhängigkeit wird in der linear elastischen Theorie durch die Elastizitätskonstanten (Steifigkeiten oder Nachgiebigkeiten) berücksichtigt. Für ein parallel zu den <100> -Richtungen ausgerichtetes Koordinatensystem sind sie in Tabelle 1 angegeben. Geht man von einem einachsigen Spannungszustand in einer bestimmten Richtung aus, so kann man den E-Modul für diese Richtung berechnen. Für die <100> -Richtungen ergibt sich dann ein E-Modul von 130.02 GPa, in den <110> -Richtungen sind es 168,69 GPa und für die <111> -Richtungen erhält man 187,69 GPa. Führt man diese Rechnung für beliebige Richtungen durch und trägt die erhaltenen Werte als Abstand um einen Mittelpunkt in ihrer jeweiligen Richtung ab, so entsteht der in Abbildung 1 dargestellte Körper. Die Berechnung dieser Werte wird im Anhang näher erläutert.

 

Figure 1: Silizium E-Modul-Körper
Image Si_EMod_Koerper

Polykristallines Silizium besteht aus vielen Körnern, die alle das oben erläuterte elastische Verhalten aufweisen. Jedes Korn ist allerdings anders im Raum orientiert. Dadurch heben sich bei Belastung die unterschiedlichen Elastizitäten gegenseitig auf und es ergibt sich, sofern eine Gleichverteilung aller Richtungen vorliegt (keine Textur), ein in alle Richtungen gleicher E-Modul. Das Material verhält sich also trotz lokaler Anisotropie global gesehen isotrop. Der E-Modul kann dann theoretisch zum Beispiel nach der Voigt-Reuss-Hill Methode gemittelt werden. Der sich so ergebende isotrope Elastizitätsmodul ist Tabelle 1 zu entnehmen. Da dieser Idealfall in der Natur nicht vorkommt und bei kleineren Bauteilen immer unwahrscheinlicher wird, weichen die experimentell ermittelten Moduli für MEMS mehr oder weniger stark von diesem Wert ab.

Wesentlich größer sind allerdings die Schwankungen bei den experimentell ermittelten Werkstoffparametern wie der Bruchfestigkeit und dem Weibull-Modul3. In Tabelle 1 werden hierzu die wichtigsten Werte für MEMS-Strukturen aufgeführt. Die Daten wurden den Zusammenfassungen verschiedener Untersuchungen von Bagdahn et al. [4] entnommen. So zeigen die dort aufgeführten Untersuchungsergebnisse einen klaren Größeneffekt mit der Folge stark unterschiedlicher Werte für Festigkeiten und Weibull-Moduli. Zudem wurden Abhängigkeiten von der Art der Fertigung und Bearbeitung der Bauteile (verschiedene Ätztechniken) aufgeführt.

 

2Die Erdkruste besteht zu ca. $ 25.8%$ aus Silizium.

3Der Weibull-Modul gibt als Größe der statistischen Betrachtung von Bruchvorgängen die Streuung der gemessenen Festigkeiten an. Dabei steht ein großer Weibull-Modul für eine geringe Streuung.

Methoden der Mikromechanik

Die Mikromechanik als Teilgebiet der Kontinuumsmechanik befasst sich mit der mechanischen Beschreibung von Mikrostrukturen selbst oder mit den Auswirkungen der Mikrostruktur auf das makroskopische Verhalten von Bauteilen. Dies kann einerseits durch Mittelung der über die Struktur zufällig verteilten mechanischen Eigenschaften oder auch durch direktes Einteilen in getrennt zu beschreibende Bereiche geschehen. Die wichtigsten Grundlagen beider Beschreibungsweisen werden hier kurz vorgestellt.

Im vorliegenden Falle kann man die Beschreibung des mechanischen Verhaltens prinzipiell auf drei sich in den Längenskalen unterscheidenden Ebenen vornehmen. Am häufigsten wird die Betrachtung auf der Makroebene durchgeführt. Hier werden effektive Materialwerte und globale Felder zur Beschreibung des mechanischen Verhaltens verwendet. Anwendbar ist dieses Verfahren, solange die Unterschiede in den Ebenen darunter nicht zu Änderungen des Systemverhaltens führen, die durch die Bildung effektiver Eigenschaften nicht berücksichtigt werden. Die zweite Beschreibungsebene wird als Meso-Ebene bezeichnet. Auch dort kommt die Kontinuumsmechanik zur Anwendung, allerdings wird ein Objekt als aus getrennten, durch lokale Felder zu beschreibenden Bereichen zusammengesetzt betrachtet. Das Zusammenwirken dieser Bereiche ergibt dann die Gesamtantwort des Systems für bestimmte Randbedingungen. In unserem Falle stellen die Körner diese Meso-Bereiche dar. Die letzte Ebene ist die mikro- oder auch atomare Ebene. Dieser Bereich befasst sich mit dem Zusammenwirken einzelner Atome (atomistische Beschreibungsweise) und den sich daraus ergebenden Effekten, zum Beispiel beim Wandern von Versetzungen oder der Rissbildung und Ausbreitung. Abbildung 5 stellt Makro- und Meso-Ebene und die zugehörigen Größen vor. [11], [12]

 

Figure 5: Makro- und Meso-Ebene
Image MakroMeso

Will man Berechnungen oder Simulationen von makroskopischen Bauteilen durchführen, so werden Materialkennwerte für diese Bauteile benötigt. Um diese zu erhalten, werden an makroskopischen Proben Versuche durchgeführt und aus dem Gesamtantwortverhalten auf Materialwerte, wie zum Beispiel den E-Modul, geschlossen. Prinzipiell ist das nichts anderes, als eine Mittelung über alle mesoskopischen Bereiche, welche unterschiedlich zum Gesamtverhalten beitragen. Kennt man die Verteilung der Eigenschaften aller Bereiche, so kann man die Mittelwerte berechnen. Dieses Verfahren nennt man Homogenisierung. Die aufgrund ihrer Einfachheit am häufigsten verwendete Methode ist die so genannte Voigt-Reuss-Hill-Methode. Hierbei wird nach Voigt der Mittelwert der Spannungen im betrachteten Gebiet unter der Annahme $ epsilon(textbf{r}),=,langleepsilonrangle$ gebildet. Eine Volumenmittelung ergibt dann für die Spannungen

 

$displaystyle langlesigmarangle : = : frac{1}{V},int_{V},textbf{E}(t......:=: frac{1}{V},int_{V},textbf{E}(textbf{r}),dV,langleepsilonrangle$(2.12)

und folglich für den gemittelten Elastizitätstensor

 

$displaystyle langletextbf{E}_{Voigt}rangle : = : frac{1}{V},int_{V},textbf{E}(textbf{r}),dV: .$(2.13)

Reuss bildet den Mittelwert der Dehnungen und setzt $ sigma(textbf{r}),=,langlesigmarangle$ , womit sich für die gemittelten Größen

 

$displaystyle langleepsilonrangle : = : frac{1}{V},int_{V},textbf{N}(......dV:=: frac{1}{V},int_{V},textbf{N}(textbf{r}),dV,langlesigmarangle$(2.14)

 

$displaystyle langletextbf{E}_{Reuss}rangle : = textbf{N}_{Reuss}^{-1} : = : left[frac{1}{V},int_{V},textbf{N}(textbf{r}),dVright]^{-1}:$(2.15)

ergibt. Wie man sich leicht vorstellen kann, sind in der Realität in einem inhomogenen Gefüge weder Spannungen noch Dehnungen konstant, da so entweder die Gleichgewichtsbedingungen zwischen den Meso-Bereichen oder die geometrische Konsistenz verletzt würden. Hill hat jedoch bewiesen, dass die beiden Fälle obere und untere Schranken ( $ langletextbf{E}_{Voigt}rangle,geq,langletextbf{E}rangle,geq,langletextbf{E}_{Reuss}rangle$ ) für den wirklichen effektiven Elastizitätstensor darstellen. Daher schlug er vor das arithmetische Mittel aus beiden als effektive Eigenschaft zu verwenden (Glg. 2.16).

 

$displaystyle langletextbf{E}_{Hill}rangle : = : frac{langletextbf{E}_{Voigt}rangle,+,langletextbf{E}_{Reuss}rangle}{2}$(2.16)

Abgesehen vom Mitteln der Eigenschaften über makroskopische Bereiche besteht auch die Möglichkeit, die Eigenschaften jeder Mesodomäne direkt in die Berechnung einfließen zu lassen. Mechanische und wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen dazu macht Axelrad [11]. Er entwickelt eine Mechanik der Mesobereiche und ihrer Kopplung zu entwickeln und führt die unterschiedlichen Eigenschaften oder Orientierungen als Wahrscheinlichkeitsfunktionen ein. Daraus werden anschließend analytisch das Gesamtantwortverhalten und die Spannungsüberhöhungen von mechanischen Systemen berechnet. Problematisch ist bei Polykristallen hierbei, dass die als gesonderte Bereiche eingeführten Korngrenzen in ihrem mechanischen Verhalten nicht genau aufgeklärt sind. Hierzu wurden bei Axelrad [11] Annahmen getroffen. Ein weiterer Nachteil der gesamten Methode ist, dass man aufgrund ihrer wahrscheinlichkeitstheoretischen Basis nur Spannungsverteilungen, jedoch keine genauen lokalen Spannungsspitzen mit Angabe ihrer Lage erhält. Zusätzlich dürfte die Berechnung komplizierterer Geometrien schwierig, wenn nicht sogar unmöglich sein. [13], [12]

Auswirkungen der Korngeometrien auf die Simulationsergebnisse

Um die Ergebnisse von FEM-Rechnungen komplexer Gefüge einschätzen zu können, ist die Betrachtung der Auswirkungen von Modellinhomogenitäten auf die lokalen Spannungs- und Dehnungsfelder nötig. Insbesondere die Tatsache, dass reale Strukturen nachgebildet werden, führt häufig zu stark unregelmäßigen Bereichen, die aufgrund zum Beispiel spitzer oder stumpfer Winkel für eine FEM-Rechnung ungünstig sein können. Abgesehen davon führt das kontinuumsmechanische Modell an bestimmten Punkten zu singulären Lösungsverläufen, die sich bei der Simulation in Netzabhängigkeiten niederschlagen. Die in Abbildung 6 markierten Bereiche werden der Reihe nach auf ihre Auswirkungen für die lokalen Felder und/oder auf die Ergebnisse einer Finite-Element-Rechnung hin überprüft.

 

Figure 6: $ a_{)}$ Tripelpunkte, $ b_)$ Kerben, $ c_)$ Spitzen
Image Tripelpunkte

Die Qualität der Vernetzung

Eine gute und möglichst regelmäßige Vernetzung ist wünschenswert weil, wie die folgenden Erläuterungen zeigen werden, die Form der Elemente die Ergebnisse beeinflusst und sogar zur Unlösbarkeit des Problems führen kann.

 

Figure 7: 2D-Element mit isoparametrischen Koordinatenlinien
[Originalbereich]Image Originalbereich [Bildbereich]Image Bildbereich

Elemente, die nicht der rechteckigen oder quadratischen Form entsprechen, bedürften normalerweise gesonderter Ansatzfunktionen. Um diese nicht für jede mögliche Elementform einführen zu müssen, wird jedes Element in einen quadratischen Bildbereich mit den Koordinaten $ eta$ und $ xi$ überführt, wie es in Abbildung 7 dargestellt wurde. Der Vorteil dieser Methode ist, dass nun die Berechnung der Steifigkeitsmatrix für jedes Element unabhängig von seiner Form und Lage unter Verwendung der gleichen Formfunktionen erfolgen kann. Die Steifigkeitsmatrix K eines Elementes ergibt sich nach [14] zu

$displaystyle textbf{K}_e,=,int_{textbf{B}_e},[textbf{D}_{epsilon u} t......(xi,eta)]^T,textbf{C},[textbf{D}_{epsilon u} textbf{V}_u(xi,eta)],dF$(2.28)


worin $ textbf{D}_{epsilon u}$ den Differentialoperator zum Berechnen der Verzerrungen, $ textbf{V}_u$ die Matrix der Formfunktionen und $ textbf{C}$ die Matrix der Elastizitätskonstanten darstellen. Nun treten allerdings im Differentialoperator $ textbf{D}_{epsilon u}$ Ableitungen nach x und < auf, die Formfunktionen wurden jedoch mit den Variablen $ xi$ und $ eta$ formuliert. Da $ x(xi,eta)$ und $ y(xi,eta)$ bekannt sind, kann für die partiellen Ableitungen nach $ xi$ und $ eta$

$displaystyle begin{pmatrix}frac{partial}{partial xi}  frac{partial}{......matrix}frac{partial}{partial x}  frac{partial}{partial y} end{pmatrix}$(2.29)


geschrieben werden. Um nun die Ableitungsvorschriften im Differentialoperator zu ersetzen, muss diese Gleichung in die Form

$displaystyle begin{pmatrix}frac{partial}{partial x}  frac{partial}{pa......x}frac{partial}{partial xi}  frac{partial}{partial eta} end{pmatrix}$(2.30)


gebracht werden. Hierzu wurde die Jacobi-Matrix $ textbf{J}$ invertiert. Der entstehende Ausdruck enthält nun die Determinante dieser Matrix im Nenner. Damit das Problem lösbar bleibt muss daher die Jacobi-Determinante im gesamten Element verschieden von Null sein. Der Wert der Jacobi-Determinante wird durch die Elementform bestimmt.

 

Figure 8: Deformierte Elemente
Image VerfElemente

Abbildung 8 zeigt die wichtigsten zu vermeidenden Fälle deformierter Elemente für ein einfaches 4-Knoten Element. Im rechten Element ergibt sich durch das Zusammenfallen der Knoten 1 und 2 in diesem Punkte für die Jacobi-Determinante der Wert Null. Der selbe Wert ergibt sich beim mittleren Element am Knoten 3. Der im linken Element dargestellte Fall führt bei der Überführung in den Bildbereich dazu, dass ein Punkt im Originalbereich zwei Punkten im Bildbereich entspricht. Die Abbildung ist nicht eindeutig. In diesem Falle wird die Jacobi-Determinante negativ. Die Fälle, in denen eine Jacobi-Determinante <=0 auftritt werden von den heutigen Netzgeneratoren im Normalfall nicht erzeugt. Trotzdem hat die Jacobi-Determinante, auch wenn sie nicht Null ist, Einfluss auf die Elementsteifigkeitsmatrix und die Schnittgrößen. Sie sollte also im ganzen Element möglichst nur geringe Änderungen zeigen und nicht in die Nähe der genannten Extremfälle gelangen. [14], [15]

Daraus folgt, dass bei der Vernetzung trotz der sehr komplizierten Geometrie auf ein möglichst regelmäßiges Netz Wert gelegt werden muss, bei dem besonders stumpfe oder sehr spitze Winkel nach Möglichkeit vermieden werden. Dies kann bei den vorliegenden Geometrien nur durch eine sehr feine Elementierung geschehen, die aber hinsichtlich der Rechenzeit Nachteile bringt. Es muss also ein vernünftiger Kompromiss zwischen beiden Anforderungen gefunden werden. Um die Auswirkungen der kritischen Elementformen auf das Gesamtergebnis so gering wie möglich zu halten, ist allerdings zumindest im Bereich der Tripelpunkte eine feinere Elementierung zu empfehlen.

Singuläre Ergebnisverläufe aufgrund geometrischer Besonderheiten

Die folgenden Betrachtungen widmen sich den in Abbildung 6 als Kerben und Tripelpunkte bezeichneten Stellen. Sie sind sich in der Hinsicht ähnlich, dass der sogenannte Kerbpunkt einen Sonderfall des Tripelpunktes darstellt, bei dem zwei Körner die gleichen Eigenschaften haben. Daher wird vor allem auf Letzteren näher eingegangen. Ein Tripelpunkt ist der Punkt oder im Dreidimensionalen die Linie, an dem mindestens drei Körner zusammentreffen. In diesem Punkt schneiden sich also drei (oder mehr) Korngrenzen. Davon ausgehend, dass alle drei Kristallite unterschiedliche Steifigkeiten aufweisen, also in unserem Falle verschiedene Gitterrichtungen haben, treffen am Tripelpunkt drei Eigenschaftsgrenzen aufeinander. Wie bei Picu und Gupta [23] nachzulesen, wo Tripelpunkte an Oberflächen dreidimensionaler Polykristalle untersucht wurden, kommt es an solchen Stellen unter bestimmten Bedingungen zu Spannungskonzentrationen und zu singulären Spannungsverläufen. Ob es überhaupt zum unbeschränkten Verlauf in den Schnittgrößen kommt und wie stark die Singularität ausgeprägt ist, hängt von den Ausrichtungen der einzelnen Kristallgitter, vom Winkel, unter dem die Korngrenzen zusammentreffen, und vom Belastungszustand ab. Die Entstehung der singulären Spannungen kann anschaulich damit erklärt werden, dass bei bestimmten Kombinationen von effektiven Elastizitäten der benachbarten Körner im Gefüge quasi Kerbwirkungen auftreten. Da das mathematische Modell von einer unendlich spitzen Kerbe ausgeht, müssen die sich um die Kerbe umlagernden Spannungen bei immer größerer Annäherung an den Punkt in der Spitze bis ins Unendliche wachsen. Diese Kerbwirkung tritt auf, wenn der Elastizitätsmodul im Inneren der Kerbe geringer ist, als in der Umgebung der Kerbe. Wo am Tripelpunkt die Kerbwirkung und somit die Singularität auftritt, hängt vom Verlauf der Spannungen in der Umgebung des Punktes ab. Aufgrund der Komplexität der Geometrie wurden die Untersuchungen an solchen Punkten in der Literatur (z. B. [23]) meist numerisch, zum Beispiel mit der FEM, durchgeführt. Als Ergebnis wurden Spannungsintensitätsfaktoren sowie die Singularitätsexponenten für verschiedene Konfigurationen ermittelt.

 

Figure 9: Spannungsverlauf in der Umgebung eines Tripelpunktes
Image TripelpunktBild2

Zum Beleg der Auswirkungen dieser Singularitäten auf die Ergebnisse der Berechnungen wurden im Rahmen dieser Arbeit stark vereinfachte Untersuchungen mit der FEM an einem Tripelpunkt durchgeführt, deren Ergebnisse im Folgenden kurz erläutert werden. Die Ausgangskonfiguration (Abb. 9) ist das Modell eines einzelnen Tripelpunktes. Die E-Moduli der drei aneinander angrenzenden Körner und die Feinheit der Vernetzung wurden variiert. Das in Abbildung 10 dargestellte Diagramm zeigt die Ergebnisse der einzelnen Simulationen. Wie bereits der Literatur zu entnehmen war, zeigt sich ein exponentieller Anstieg der Spannungen, sofern der kerbinnere E-Modul geringer ist als der äußere. Je geringer dieser die innere Steifigkeit ist, desto größer ist die Spannungsüberhöhung in der Umgebung des Tripelpunktes. Wichtigste Erkenntnis dieses einfachen Tests ist die starke Netzabhängigkeit der Ergebnisse an den Schnittpunkten der Korngrenzen. Je nach Elementkantenlänge wird der singuläre Spannungsverlauf mehr oder weniger genau abgebildet. Dies hat verheerende Folgen für die Aussagekraft der so ermittelten Maximalspannungen an diesen Punkten, da jede Vernetzung ein anderes Ergebnis liefert.

 

Figure 10: Spannungsverläufe bei verschiedenen Elementgrößen
Image TripelpunktDiagramm

Da allerdings gerade Spannungsspitzen ausschlaggebend für die Rissinitiierung sind, deren genaue Ermittlung an singulären Punkten jedoch nicht möglich ist, wurde der Spannungsintensitätsfaktor zur Bewertung der Rissgefahr eingeführt. Dieser wäre allerdings an allen Tripelpunkten unterschiedlich und jeweils getrennt zu bestimmen. Zudem hat jeder Tripelpunkt einen anderen Singularitätsexponenten, was die Bestimmung noch weiter erschwert. Da allerdings die unendlichen Spannungsüberhöhungen auf der Idealisierung eines unendlich spitzen Tripelpunktes basieren, ist es auch möglich, die Spannungen selbst bewertbar zu machen, indem man sie sinnvoll nach oben begrenzt. Eine Möglichkeit hierfür ist das Modell der atomaren Eckenausrundung, welches bei Kerben zum Einsatz kommt und den Kerbgrund in den Größenordnungen weniger Atome ausrundet. Eine Anwendung ist rein geometrisch gesehen auf Tripelpunkte nicht möglich, da bei Ausrundung aller Kornecken an diesen Punkten zwangsläufig Lücken entstehen. Eine weitere Möglichkeit die Spannungen bewertbar zu machen, wäre das $ d^*$ -Konzept. Es geht davon aus, dass man die Spannungen in der Umgebung einer Kerbe oder eines Anrisses über eine gewissen Abstand mitteln und somit nach oben begrenzen kann. Dieser Abstand wird $ d^*$ genannt und sollte laut [10] bei spröden Werkstoffen im atomaren Bereich liegen. Er stellt eine Werkstoffkenngröße dar. Da allerdings kein sinnvolles $ d^*$ für die unterschiedlichen Konfigurationen an Tripelpunkten bekannt ist und die Bildung des Spannungsmittels an jedem Tripelpunkt unter vorheriger Ermittlung des Bruchverlaufes (es müsste entlang der Spaltrichtung gemittelt werden) schwer umsetzbar ist, wird von der Anwendung dieser Methode abgesehen. Zudem hätte für eine sinnvolle Mittelung der Spannungen im $ d^*$ -Bereich sehr fein elementiert werden müssen, was bei großen Kornanzahlen zu unrealistisch vielen Elementen führt. Die Begrenzung der Spannungen auf einen bestimmten Maximalwert wird, wie Abb. 10 zeigt, auch durch die Begrenzung Vernetzungsfeinheit erreicht. Eine vergleichende Rechnung hat gezeigt, dass die Spannungsspitzen für ein bestimmtes $ d^*$ bei Elementkantenlängen auftraten, die dem $ d^*$ annähernd entsprachen. Also kann näherungsweise eine sinnvolle Wahl der Elementkantenlänge zur Spannungsbegrenzung dienen. Vor diesem Hintergrund wurden vergleichende Rechnungen verschiedener Gefüge mit gleicher Elementgröße durchgeführt, um die Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu gewährleisten.

Eine weitere Möglichkeit, die Spannungen zu begrenzen bzw. die Singularität am Tripelpunkt zu vermeiden, ist die Anwendung eines Kohäsivzonenmodells. Dies wird in Abschnitt 2.4.2 näher beschrieben und in Kapitel 6 angewendet.

 

Ergebnisse

Im Rahmen der Arbeit wurde das Vektorisierungsprogramm GVECT, welches die Extraktion von Korngeometrien aus EBSD-Aufnahmen und deren Integration in FE-Modelle ermöglicht, weiterentwickelt. Die Benutzeroberfläche wurde übersichtlicher und anwenderfreundlicher gestaltet, ein Bereinigungsalgorithmus zur Aufbereitung der EBSD-Materials wurde integriert und die Software bietet nun die Möglichkeit neben ANSYS auch ABAQUS-Modelle zu erstellen. Weiterhin konnten die von GVECT erzeugten Korngeometrien erfolgreich in bestehende Bauteilmodelle an festgelegten Stellen integriert werden. Die sich bei der Simulation von Kornstrukturen vor allem durch Steifigkeitssprünge an den Korngrenzen ergebenden Probleme (singuläre Spannungsverläufe) wurden beleuchtet. Durch Berechnung verschiedener markanter Kornstrukturmodelle konnten Auswirkungen der Korngeometrien auf die Spannungsverläufe im Bauteil sowie auf das Verhalten der Gesamtstruktur gewonnen werden. Im letzten Schritt wurden schliesslich an den Korngrenzen kohäsive Zonen eingeführt, die die Simulation von Rissvorgängen entlang der Korngrenzen und somit eine realitätsnähere Simulation von Versagensvorgängen ermöglichen.

Die detailierte Vorstellung der oben genannten Ergebnisse sprengt den Rahmen dieser Internetpräsentaion, deshalb erfolgt hier eine kurze, eher plakativ zu nennende Darstellung der Ergebnisse zu den jeweiligen Abschnitten der Arbeit. Genauere Informationen zur Entstehung der einzelnen Resultate sind der Diplomarbeit zu entnehmen.

  • Modellerstellung und Simulation
  • Simulation unter Variation der Gefügeeigenschaften
  • Einbindung kohäsiver Zonen an den Korngrenzen

Modellerstellung und Simulation

Als Erstes soll zum grundlegenden Verständnis der Vektorisierung ein Flussdiagramm den Ablauf der Umsetzung eines EBSD-Bildes in ein FE-Modell verdeutlichen.

Vektorisierungsablauf

An dieser Stelle folgen einige Darstellungen unterschiedlicher Modelle mit eingebauter Kornstruktur.

Varianten des Kornstruktureinbaus

Unten stehend ist eine EBSD-Aufnahme und das daraus entstandene Modell nach der Berechnung dargestellt. Die Struktur steht unter horizontalem Zug und es wurden die 1. Hauptspannungen geplottet.

links: EBSD-Aufnahme, rechts: FE-Modell mit Kornstruktur

Simulation unter Variation der Gefügeeigenschaften

In diesem Teil der Diplomarbeit wurde untersucht, wie sich in relativ kleinen Korngefügen unterschiedliche Kornformen und Größen sowie die Eigenschaften eines bestimmten Kornes auf die Spannungen in der Struktur auswirken. Zur Verdeutlichung ist unten ein Teil der Ergebnisse am Beispiel einer Kornstruktur dargestellt. Auf diese Darstellung folgt der Abschnitt aus der Diplomarbeit, welcher die Ergebnisse aller so durchgeführten Simulationen erläutert und beurteilt.

Simulationsergebnisse eines Modells bei Veränderung der Eigenschaften eins Kornes

Vergleich der Resultate aller Kornausschnitte untereinander

Ergänzend soll an dieser Stelle kurz auf die Unterschiede der Resultate aller Kornbilder eingegangen werden. Zu diesem Zweck wurde ein Diagramm erstellt, welches die Mittelwerte der Spannungsverteilungen sowie die zugehörigen Standardabweichungen vergleicht. Das zweite Diagramm zeigt die Verläufe der Minima und Maxima der jeweiligen Spannungen. Beides wurde für die Drehung des betrachteten Kornes in der (110)-Ebene durchgeführt, da hier die Steifigkeitsunterschiede jeweils am Größten waren. Beide Diagramme werden zusammen in Abbildung 59 dargestellt.

 

Figure 59: Vergleich der Ergebnisse der einzelnen Kornbilder, links: Mittelwerte und Standardabweichungen, rechts: Minima und Maxima
Image MwVergleich Image MinMaxVergleich

Als Erstes soll auf die Veränderungen in den Mittelwerten eingegangen werden. Grundsätzlich zeigen hier alle Gefüge ähnliches Verhalten. Mit größer werdendem Winkel steigt der Mittelwert an bis zum Maximum bei 60°, um dann wieder leicht abzufallen. Aufgrund der Versteifung des jeweils betrachteten Kornes war auch genau das zu erwarten. Ebenfalls naheliegend ist, dass sich diese Versteifung bei den Kornbildern, in denen das gedrehte Korn einen größeren Flächenanteil hat, am stärksten auswirkt. Gefüge mit größeren Einzelkörnern sind also an sich ungünstig, da hier von einem Korn die Steifigkeit stark beeinflusst wird. Auch zeigt sich zumindest am Kornbild IV, dass das auch zu einer erheblichen Streuung in den Spannungswerten und damit zur starken Inhomogenisierung führen kann. Betrachtet man zusätzlich die Minima und Maxima, so zeigen sich vor allem bei den Maxima starke Schwankungen. Die Aussagekraft dieser Ergebnisse im Vergleich ist jedoch grundsätzlich geringer, da die Spannungen ja hier unabhängig vom Ort abgetragen werden und weil, wie zuvor zu sehen war, die Stellen im Gefüge, an denen diese Extremwerte auftreten, wechseln können. Trotzdem ist grundsätzlich bemerkenswert, dass die Auswirkungen der Veränderungen gerade in den Maxima so unterschiedlich sind und, wie besonders gut an Kornbild IV zu erkennen, ist auch nicht zwingend mit den Standardabweichungen zusammenhängen. Eine größere Streuung führt also nicht immer auch zu höheren Maximalwerten. Die Zusammenhänge sind hier wesentlich komplexer und die Aufklärung bedarf natürlich weiterer Untersuchungen.

Weiterhin soll festgehalten werden, dass die Mittelwerte der Spannungen bezogen auf die Gesamtdehnung im Bereich $ E_{PolySi},pm,10%$ liegen. Die Verläufe der Standardabweichungen lassen den Schluss zu, dass bei einer Untersuchung wie sie hier gemacht wurde die größten Inhomogenitäten in Abhängigkeit von der "`normalen"' Steifigkeit des Gefüges auftreten. Dies begründet sich in der Tatsache, dass diese Werte für Kornbild I und IV mit größer werdendem Winkel zunehmen und bei den anderen beiden Gefügen abnehmen.

 

Einbindung kohäsiver Zonen an den Korngrenzen

Abschließend folgen einige Abschnitte aus dem Kapitel zur einfügung kohäsiver Zonen in die Kornmodelle.

Motivation

Grundsätzlich ergab sich die Motivation zum Einbau der Kohäsivzonen aus den an Tripelpunkten gegen unendlich gehenden Spannungswerten, die im diskretisierten FE-Modell zur starken lokalen Netzabhängigkeit der Ergebnisse führen. Dies wurde bereits in Kapitel 2 beschrieben und auf seine Auswirkungen hin untersucht. Allerdings spielt auch ein weiterer Aspekt eine Rolle, der sich aus der Natur der Korngrenzen selbst ergibt.

Experimente haben gezeigt, dass Korngrenzen unter Umständen bevorzugte Risspfade (Rissflächen) sind [30]. Angesichts dessen liegt es nahe anzunehmen, dass sich die Korngrenzen selbst in ihren Eigenschaften vom umgebenden Material unterscheiden. Als ideale Grenzfläche zwischen sich allein in der Gitterrichtung unterscheidenden Gefügebestandteilen ist dies bereits der Fall, da durch das Zusammenstoßen des unterschiedlichen Atomaufbaus Bindungen geweitet oder zusammengedrückt werden, was zu zwischen den Kristalliten gespeicherter Grenzflächenenergie führt. Dies wirkt sich allerdings kaum auf die Steifigkeit des gesamten Körpers aus, da der Volumenanteil der Korngrenzen äußerst gering ist. Sind die Grenzgebiete zwischen den Körnern allerdings weniger perfekt und dicker (Einschlüsse, Ablagerungen von Fremdatomen, Aufstauungen von Versetzungen) so lohnt sich deren Modellierung auch unter dem Gesichtspunkt einer Eigenschaftsänderung des Gesamtkörpers.

Insbesondere ermöglicht allerdings die Mitmodellierung der Grenzflächen, ob nun ideal dünn oder mit realer Ausdehnung, die Simulation von Versagensvorgängen. Man kann beobachten, welchen Verlauf Risse unter bestimmten Umständen nehmen und daraus Schlussfolgerungen auf kritische Gefügebilder ziehen.

Rechnung eines einfachen Modelles

Die folgenden zwei Abschnitte zur Anwendung des zuvor beschriebenen Simulationsmodelles stellen einen Überblick über die sich ergebenden Modelle und Ergebnisse der möglichen Simulationen dar.

Linear elastisch

Zur Demonstration einer funktionierenden Modellerstellung wurde ein dreidimensionales Modell aus einem willkürlich ausgewählten Kornbild erstellt. Das horizontal zugbelastete Gefüge steht unter einer Gesamtdehnung von einem Prozent. Dabei tritt im Gefüge noch kein Riss und keine Erweichung an den Kohäsivzonen ein. Sie liegen alle noch im ansteigenden linear elastischen Bereich ihrer Kraft-Verschiebungskurve.

 

Figure 65: Spannungsplot von einem Korngefüge in ABAQUS
Image gef1_s1_3D

Bild 65 zeigt die Ergebnisse für die erste Hauptspannung im Gefüge. An den Ecken ergeben sich Spannungsspitzen aufgrund der Einspannung. Das Spannungsbild ist grundsätzlich ähnlich den Ergebnissen, die die Berechnungen in ANSYS ergeben haben. Abbildung 66 soll die Lage der Kohäsivzonen verdeutlichen, indem nur die kohäsiven Elemente und deren Spannungen abgebildet wurden.

 

Figure 66: Darstellung der Kohäsivzonenelemente
Image gef1_coh_3D

Risswachstum und Ausbreitung, Demonstration

Nach der Demonstration des Verhaltens unter Belastung im linearen Bereich folgen nun die Resultate für eine Simulation mit wesentlich größeren Dehnungen des Modelles. Wieder wurde die Belastung am rechten Rand aufgebracht, nur diesmal führt sie am Ende zu einer Dehnung von zehn Prozent. Das führt zum Erreichen des Bruchkriteriums an den Kohäsivelementen und zu deren Aufbrechen nach Überschreiten der maximalen Dehnung beziehungsweise Spannung wie Abbildung 67 am Beispiel einer Korngrenze zeigt.

Die hier gezeigten Risssimulationen wurden zweidimensional durchgeführt, um den Rechenaufwand zu begrenzen. Dreidimensionale Modelle lassen sich ebenso rechnen.

 

Figure 68: Rissausbreitung unter Zugbelastung.
Image Riss_01 Image Riss_06
Image Riss_12 Image Riss_18
Image Riss_24 Image Riss_27

Abbildung 68 soll die Bildung und Ausbreitung von Rissen zeigen, wie sie sich mit dem verwendeten Modell ergeben. Die Kohäsivzonenparameter wurden willkürlich, basierend auf den in [31] vorgeschlagenen Annahmen, festgelegt (siehe Abschnitt 6.3.3), da es sich hier nur um eine Demonstration der Funktionsweise handeln soll. Der Riss entsteht an einem Tripelpunkt mitten im Gefüge und breitet sich nach beiden Seiten aus. Bemerkenswert ist, dass es gleichzeitig zum Aufbrechen der Korngrenzen an mehreren Stellen im Gefüge kommt. Auch sieht man eine Spannungsspitze mitten im Gefüge, die sich aus der Vorgabe eines interkristallinen Rissverlaufes ergibt. Hier zeigen sich die Grenzen des verwendeten Modelles, wahrscheinlich würde der Riss sich in der Realität dort durch das Korn fortsetzen.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit hatte sich zur Aufgabe gestellt, Finite-Element-Modelle auf Kornstrukturebene für Polysiliziumbauteile zu entwickeln und anzuwenden. Dazu wurden einführende Betrachtungen zur Berechnung von Mikrostrukturen und den damit verbundenen Problemen durchgeführt. Anschließend erfolgte die Erweiterung des Programmes GVect, welches für die Erstellung der Finite-Element-Mikrostrukturmodelle für ANSYS auf Basis von mit dem EBSD-Verfahren gewonnenen Mikrostrukturbildern diente. Die Benutzeroberfläche wurde erweitert und verbessert, es erfolgte der Einbau einer Bildbereinigung in das Programm sowie eine Erweiterung der Vektorisierungsfunktion. Abschließend wurde die Software um die Möglichkeit zur Erzeugung von ABAQUS-Modellen erweitert. Auf Basis der mit der Vektorisierung gewonnenen Daten mussten für verschiedene Anwendungsfälle Simulationsmodelle erstellt werden. Die Modelle können komplett mit der Mikrostruktur ausgefüllt sein, es besteht allerdings auch die Möglichkeit zum Einbau von Kornstrukturen an besonders interessanten Bereichen größerer Modelle.

Vier aus der großen Menge möglicher Strukturen ausgewählte Kornbilder wurden anschließend unter Variation der Eigenschaften eines markanten Kornes simuliert. Die so erhaltenen Spannungsbilder sind visuell sowie auf Basis von Spannungshistogrammen verglichen und ausgewertet worden. Die Komplexität der entstehenden Spannungszustände und die Schwierigkeit, kritische Punkte vorherzusagen, konnte dargestellt werden. Die Simulationen führten zu eher allgemeinen Aussagen über den Einfluss einzelner markanter Körner sowie zur Erkenntnis, dass kritische Stellen im Gefüge aufgrund der Kornstruktur beim Zusammentreffen mehrerer Korngrenzen sowie an konkaven Korngrenzen aufgrund der Kerbwirkung auftreten. Der letzte Abschnitt der Arbeit stellt die technische Umsetzung der Integration kohäsiver Zonen an den Korngrenzen dar. Dies soll die lokale Netzabhängigkeit der Ergebnisse aufgrund singulärer Spannungsverläufe verringern. Weiterhin wird so die Durchführung von Risssimulationen entlang der Korngrenzen ermöglicht.

 

Ausblick

In Zukunft sollen auf Grundlage dieser Arbeit die Ergebnisse von Simulationen unter Einbeziehung der Kornstruktur mit experimentellen Ergebnissen verglichen werden. Ziel ist es, zu Modellen zu gelangen, die das Versagen einer Struktur besser vorhersagen als bisherige Simulationsmethoden mit homogenen Materialeigenschaften. Auf Basis von Rissimulationen sollen Erkenntnisse gewonnen werden, die es ermöglichen kritische Strukturen zu erkennen und in zukünftigen Produktionsprozessen zu vermeiden.


Quellen

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34
ABAQUS Documentation

Originalarbeit

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Über den autor

Über den Autor


 

Dipl.-Ing. (FH) Sebastian Knorr, geboren am 14.07.1979 in Wurzen.

 

  • 1986 - 1998 Grund- und Oberstufe bis zum Abitur am Magnus-Gottfried-Lichtwer-Gymnasium in Wurzen
  • 1999 - 2001 Ausbildung zum Bankkaufmann bei der Dresdner Bank AG in Leipzig
  • 2001 - 2005 Maschinenbaustudium (Diplom) an der HTWK Leipzig
  • 2003 Praktikum bei ZF Sachs in Schweinfurt in der Entwicklungsabteilung Antriebsstrang
  • seit 2005 Masterstudium Mechanical and Process Engineering Studienrichtung Applied Mechanics an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
  • seit 2006 Hilfswissenschaftliche Tätigkeit am Fraunhofer- Institut für Werkstoffmechanik Halle

 

Impressum

Autor

Sebastian Knorr
Preßlersberg 4
06110 Halle
sebknorr(at)web.de
Betreuer (HTWK)

Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn
Technische Mechanik / Rechneranwendung
FB Maschinen- und Energietechnik / HTWK Leipzig
Koburger Str. 62,
D 04416 Markkleeberg
kloehn(at)me.htwk-leipzig.de
Betreuer (Fraunhofer)

Dr.-Ing. Matthias Ebert
Fraunhofer- Institut für Werkstoffmechanik
Mikromechanische Komponenten
Heideallee 19
06120 Halle (Saale)

State of the Art - Zum Stand der Technik

Charakterisierung von Hybridstrukturen

Ein Hybrid besteht aus mindestens zwei oder mehreren Komponenten, die durch den gleichzeitigen Einsatz in einem Systemverbund ein neues Eigenschaftsprofil besitzen. Je unterschiedlicher die Werkstoffkategorien ursprünglich sind, desto größer ist das erzielbare Verbesserungspotenzial, wenn dabei jeweils die Vorteile der einen Komponente die Nachteile der anderen ausgleichen können. Ein solches unterschiedliches Portfolio an Eigenschaften zeigen Kunststoffe und Metalle. Zum Beispiel weisen Metalle hohe Festigkeiten und Steifigkeiten auf, hingegen sind Kunststoffe mit hohen Bruchdehnungen gutmütiger für Verformungen. Die Automobilindustrie erkannte das Potential der Werkstoffkombination. Audi führte mit dem Frontend des Audi A6 1998 das erste Großserien-Hybridbauteil ein. Damit konnten Gewichtseinsparungen von 15 % erreicht werden, bei gleichzeitiger Verringerung der Herstellungskosten um 10 % [3].

Das Ziel der Hybridkonstruktion liegt darin, eine kosten- und ressourcensparende Lösung zu entwickeln, die Vorteile kombiniert und Nachteile kompensiert. In Tabelle 2.1 sind die Eigenschaften der beiden Verbundpartner dargestellt.

 

Tab. 2.1: Eigenschaften von Metallen und Kunststoffen [4,5]