Masterarbeit Stuht

Numerische Untersuchung
des Bremsenquietschens mit FEM
und komplexer Eigenwertanalyse

Numerical analysis of brake squeal with FEM and complex eigenvalue analysis

Marcus Stuht
Masterarbeit November 2011

Inhaltsverzeichnis

1. Übersicht / Abstract

2. Einführung

3. Zum Stand Der Technik - State of the Art

4. Zur Theorie

5. Ergebnisse

6. Zusammenfassung

7. Ausblick

8. Quellen

9. Über den Autor

10. Impressum

11. Originalarbeit ist unter Verschluss

1. Übersicht

Im Zentrum der Arbeit steht die Modellierung des Mechanismus des Bremsenquietschens anhand der Methode der Finiten Elemente. Ausgangspunkt dieser Arbeit ist ein von SOLTANI[7] entwickeltes Finite-Elemente-Modell einer PKW-Vorderradbremse mit Schwenklager und Radnabe. Aufbauend auf diesem Ausgangsmodell wird im Rahmen einer Modellerweiterung der Einfluss der Achskomponenten auf die Instabilität des Bremssystems überprüft. Ziel ist die Realisierung einer verbesserten Lagerungsstrategie des Schwenklagers, da das Ausgangsmodell eine hohe Sensitivität bezüglich des Lagerverhaltens aufweist (siehe SOLTANI[7]). In diesem Zusammenhang wird zudem die Auswirkung der Kontaktmodellierung zwischen Bremsbelag und Bremsscheibe auf das Systemverhalten betrachtet. Dabei soll insbesondere die Sensitivität des Systems bezüglich einer lokalen Veränderung der Kontaktmodellierung untersucht werden. Abschließend wird geprüft, in wieweit modale Beteiligungsfaktoren zur Identifikation der kritischen Bauteile und Eigenformen, die an einer instabilen Systemschwingung maßgeblich beteiligt sind, verwendet werden können.

Abstract

In the centre of the thesis is the modeling of the brake squeal mechanism with the help of the finite element method. Initial point of the thesis is a finite element model of a front wheel brake with swivel bearing and wheel hub developed by SOLTANI[7]. The initial model will be extended with axle components. The new model will be used to investigate the influence of the axle components for the stability of the brake system. The aim is the developing of a better boundary model for the swivel bearing. In addition the model will be used to examine the contact model between the brake disc and the brake pads. In this context the model will be used to investîgate the influence of a small variation in the local contact modeling for the global system behaviour. In concluding it will be examine how to use modal assurance factors to identify the critical system parts and the modeshaps they are relevant for the instable system behaviour.

2. Einführung

Der heutige Konkurrenzkampf in der Automobilindustrie stellt die Automobilkonzerne vor immer wieder neue und anspruchsvolle Herausforderungen. Die Entwicklung neuer Produkte, wird erschwert durch wachsende Anforderungen an die Sicherheit und den Komfort sowie die Notwendigkeit, Entwicklungs- und Produktkosten niedrig zu halten. Neben den grundlegenden Eigenschaften wie Sicherheit und Funktionsfähigkeit gewinnt zunehmend der Punkt „Komfort“ an Bedeutung. Das NVH-Verhalten (Noise-Vibration-Harshness) eines Fahrzeuges spielt dabei eine wichtige Rolle. Die daraus resultierenden Probleme sind oft das Ergebnis komplexer und vielschichtiger Wechselwirkungen zwischen den zahlreichen Teilsystemen und Komponenten des Fahrzeugs. Eines dieser Probleme ist das Bremsenquietschen. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Simulation des Mechanismus des Bremsenquietschens unter Verwendung der komplexen Eigenwertanalyse.

Folgende Aufgabenpunkte wurden im Einzelnen bearbeitet:


  1. Darstellung des aktuellen Standes der Forschung und der industriellen Anwendung der komplexen Eigenwertanalyse.
  2. Beschreibung des Mechanismus der Modenkopplung:
    • Zusammenfassung der Theorie
    • Untersuchung an einem geeigneten Minimalmodell
  3. Weiterentwicklung des vorhanden FE-Modells:
    • Berücksichtigung zusätzlicher Achsbauteile und Lager
    • Untersuchung der Kontaktmodellierung und des Verschleißeinflusses
  4. Phänomenologische Fragestellungen:
    • Wie kann ermittelt werden, welche Bauteile maßgeblich an den instabilen Eigenformen beteiligt sind?
    • Lassen sich, außer dem Realteil des Eigenwerts, andere Stabilitätskriterien definieren, mit denen bestehende oder potentielle Instabilitäten und deren Intensität (negative Dämpfung) ermitteln werden können?


3. Zum Stand Der Technik - State of the art

Die Entwicklung leistungsfähiger und komfortabler Automobile hat auch die Ansprüche an die Bremssysteme gesteigert. Bremsgeräusche werden vielfach vom Kunden nicht toleriert und führen zu erheblichen Beanstandungskosten [2, S.1].
Bremsenkostenentwicklung

Zudem können Bremsgeräusche ein Fehlverhalten bzw. eine Bremsbeeinträchtigung des Bremssystems suggerieren. Diese Annahme entspricht zwar nicht der Realität, kann aber dennoch zur Verunsicherung der Fahrzeuginsassen führen [3, S. 1]. Aufgrund der Komplexität des Bremssystems und der Vielzahl an Randbedingungen, die während des alltäglichen Gebrauches auftreten, konnte bis zum aktuellen Zeitpunkt noch keine geschlossene Erklärung für die Geräuschphänomene formuliert werden [1, S. 1]. Allgemein kann aber zwischen zwei Strategien zur Reduzierung der Bremsgeräusche unterschieden werden. Der aktiven und passiven Geräuschunterdrückung. Bei der aktiven Bremsgeräuschunterdrückung wird, wie der Name es ausdrückt, aktiv in den Bremsvorgang eingegriffen. Die Methode entspricht dabei einer Regelung des dynamischen Systemverhaltens. Ausgangspunkt des Verfahrens ist die Abbildung des Systemverhaltens in einem Simulationsmodell. Das entwickelte Modell besitzt dabei eine überschaubare Anzahl an Freiheitsgraden. Im Rahmen dieser Herangehensweise wird das mechanische Verhalten des Systems in den meisten Fällen durch ein Starrkörpermodell abgebildet. Für die Detektierung der zu regelnden Schwingungen, bzw. des zu regelnden „Signals“, werden Bremsbeläge mit integrierten Piezokeramiken (sogen. „smart pads“) verwendet [3, S. 3]. Einen detaillierten Einblick zu diesem Themenkreis geben zum Beispiel die Arbeiten von HOCHLENERT[3] und SCHLAGNER[6]. Im Vergleich dazu wird bei der passiven Bremsgeräuschunterdrückung die Bremsenbau-gruppe derart konstruiert und ausgelegt, dass im Betriebszustand keine Geräuschauffälligkeiten auftreten. Damit dies gewährleistet ist, werden aussagekräftige Modelle benötigt, die das Systemverhalten präzise beschreiben können. Im Hinblick auf die benötigte Ergebnisqualität sind Starrkörpermodelle unzureichend, da diese die in den elastischen Bauteilen auftretenden Spannungen und Verformungen nicht berücksichtigen. Dementsprechend werden bei der passiven Bremsgeräuschunterdrückung numerische Verfahren verwendet, die sowohl die räumliche als auch zeitliche Diskretisierung der das problembeschreibenden partiellen Differenzialgleichungen erlauben. In der Praxis wird zur numerischen Diskretisierung fast ausschließlich die Methode der Finiten Elemente verwendet [1, S.2]. Theoretisch wäre es aber auch denkbar, andere numerische Verfahren zu benutzen. Die Anzahl der entstehenden Freiheitsgrade ist dabei jedoch um ein Vielfaches größer als die Anzahl der Freiheitsgrade in einem Starrkörpermodell. Aus diesem Grund gestaltet sich die Lösung des Problems im Zeitbereich schwierig, da die Rechenkapazität für detaillierte Modelle oft nicht ausreicht. Abhilfe schafft die Strategie, das System um den Arbeitspunkt zu linearisieren und eine komplexe Eigenwertanalyse durchzuführen. Die komplexe Eigenwertanalyse entspricht dabei einer Störungsrechnung im Arbeitspunkt und erlaubt Rückschlüsse auf das Systemverhalten im Zeitbereich. Exemplarisch für eine solche Herangehensweise ist die Arbeit von BUCK[1].

4. Zur Theorie

Bei der numerischen Diskretisierung von rotierenden reibungsbehafteten Systemen entsteht im Allgemeinen als linearisierte Bewegungsgleichung eine Matrix-Differentialgleichung vom Typ
Gleichung_1_ZahlGleichung_1

In dieser Darstellung entspricht M der Massenmatrix, D der Dämpfungsmatrix und G der gyroskopischen Matrix. K bezeichnet die Steifigkeitsmatrix, N die zirkulatorische Matrix und g(t) den Vektor der generalisierten Koordinaten. Weiterhin werden die äußeren Kräfte durch f(t) dargestellt. Für die Matrizen gelten die Symmetrieeigenschaften [3, S. 24]:
Gleichung_2_ZahlGleichung_2

Die sich daraus ergebende Störungsgleichung für ein Bremssystem besitzt nach HETZLER[2, S. 153] stets die Form
Gleichung_3_Zahl Gleichung_3

Diese Gleichungen werden auch als Variationsgleichungen oder Störungsgleichungen erster Näherung bezeichnet. Das Störverhalten lässt sich bei diesem Gleichungstyp durch eine Eigenwertanalyse überprüfen. Eine Stabilitätsuntersuchung im Sinne von Ljapunow ist damit gegeben [2, S. 55]. Der ungestörte Zustand des Systems entspricht dabei der quasistatischen Ruhelage im Arbeitspunkt. Zur Beurteilung des Zeitverhaltens kann, wie erwähnt, eine Eigenwertanalyse verwendet werden. Dazu wird mit hilfe eines Exponentialansatz das lineare homogene Differenzialgleichungs-system 2. Ordnung in ein lineares homogenes Gleichungssystem überführt.
Gleichung_4_Zahl Gleichung_4

Die zur Lösung des Systems wichtigen, nichttrivialen Lösungen existieren, wenn die Koeffizientendeterminante Null wird. Da die Koeffizientenmatrix vom Parameter Lamda abhängt, entspricht die Koeffizientendeterminante einem Polynom (charakteristisches Polynom). Die Eigenwerte der Matrix sind die Nullstellen, bzw. Wurzeln des charakteristischen Polynoms. Der gesamte Aufgabentyp entspricht einem quadratischen Eigenwertproblem [2, S. 55]. Werden die Differenzialgleichungen 2. Ordnung durch den Ansatz
Gleichung_5_Zahl Gleichung_5

auf ein Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung transformiert, entsteht eine mathematisch äquivalente Beschreibung. Das mathematische Modell wird Zustandsraummodell genannt [4, S. 66]. Die Matrix A wird als Zustandsmatrix bezeichnet.
Gleichung_6_Zahl Gleichung_6
Gleichung_7_Zahl Gleichung_7

Wird bei dem umgeformten System abermals ein Exponentialansatz zur Lösung des linearen und homogenen Differenzialgleichungssystems verwendet, können die benötigten nichttrivialen Lösungen des linearen algebraischen Gleichungssystems durch das spezielle Eigenwerteproblem vom Typ
Gleichung_8_Zahl Gleichung_8

berechnet werden. Dieser Typ von Eigenwertproblemen eignet sich besonders für die rechnergestützte Verarbeitung. Numerische Lösungsalgorithmen sind für den angesprochenen Aufgabentyp in den meisten mathematischen Programmen vorhanden. Aussagen zur Stabilität des Systems können in der Folge direkt aus den Eigenwerten der Koeffizientenmatrix, bzw. Zustandsmatrix abgeleitet werden. Dementsprechend wird die Stabilität des Systems durch die Wurzeln des charakteristischen Polynoms vorgegeben. Die Anzahl der möglichen Wurzeln wird durch den Fundamentalsatz der Algebra vorgeschrieben. Der Satz besagt, dass ein Polynom n-ter Ordnung in der komplexen Zahlenebene n-Wurzeln besitzt, wenn die Vielfachheit der Wurzeln berücksichtigt wird. Die Gestalt der Wurzeln ist real oder konjugiert komplex. Allgemein besitzen die Eigenwerte die Form
Gleichung_9_Zahl Gleichung_9

Physikalisch kann Omega als Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung und Delta als der dazugehörige Abklingkoeffizient interpretiert werden. Demzufolge ist das Stabilitätsverhalten vom Realteil der Eigenwerte abhängig. Grundsätzlich kann zwischen 3 Szenarien unterschieden werden [2, S. 56].


  1. alle Eigenwerte besitzen einen negativen Realteil -> das System ist asymptotisch stabil
  2. mindestens ein Eigenwert besitzt keinen Realteil, die anderen Realteile sind negativ oder verschwinden ebenfalls -> für genauere Aussagen sind weitere Betrachtungen nötig
  3. mindestens ein Eigenwert besitzt einen positiven Realteil -> das System ist instabil


Dieser Aufgabentyp kann mit dem Finite-Elemente-Programm Abaqus anhand einer nichtlinearen quasistatische Berechnung mit anschließender Störungsrechnung untersucht werden. Der Grundgedanke der Berechnungsmethode besteht darin, dass ein nichtlineares System für kleine Abweichungen im Arbeitspunkt um den selbigen linearisiert werden kann. Ausgehend von dieser Annahme kann das resultierende lineare Modell im Anschluss anhand einer Störungsrechnung in Form einer komplexen Eigenwertanalyse untersucht werden. Zur Abbildung der Problemstellung sind in Abaqus 4 unterschiedliche Simulationsschritte notwendig:

  1. Im ersten Rechenschritt wird eine nichtlineare statischen Berechnung durchgeführt. Während der Teilrechnung ist die Bremsscheibe in Ruhe. Charakterisiert wird der Schritt durch das Aufbringen der Lasten (Bremsdruck) und das Vorspannen der Belagsfedern. In diesem Zusammenhang werden auch die diversen Kontakte zwischen den unterschiedlichen Bauteilen geschlossen. Physikalisch entspricht das System einem stehenden Fahrzeug mit betätigter Bremse.
  2. Ist die erste Teilrechnung abgeschlossen, wird im Anschluss die Bremsscheibe in Bewegung versetzt. Ausgangspunkt ist das Gleichgewicht am Ende des vorherigen Berechnungsschritts. Ausgehend von einer Lagrangschen-Betrachtungsweise wäre die Rotation der Bremsscheibe nur infolge einer instationären Simulation zu realisieren. Da dies aber sehr rechenaufwendig ist, wird für die Abbildung der rotierenden Körper (z.B.: Bremsscheibe, Nabe) auf eine Eulersche-Betrachtungsweise zurückgegriffen. Infolge dieser Formulierung bewegt sich nicht mehr das Netz, vielmehr wird die Rotation der Körper durch das im Netz fließende Material modelliert. Das Vorgehen kann dabei mit einer numerischen durchgeführten Strömungssimulation verglichen werden. Auf Grund der ortsfesten Geometrie wird von einer quasistatischen Simulation gesprochen. Physikalisch entspricht der Zustand einem fahrenden Fahrzeug mit betätigter Bremse und zugleich dem Arbeitspunkt des nichtlinearen Systems.
  3. Ausgehend vom quasistatischen Gleichgewicht des nichtlinearen Systems wird das System im nächsten Schritt linearisiert. Ausgangspunkt für die Berechnung ist eine Störungsanalyse in Form einer realen Eigenwertanalyse, da der verwendete Gleichungslöser das allgemeine Eigenproblem auf globaler Ebene nicht direkt lösen kann. Es wird ein Unterraum aus realen Eigenwerten benötigt(modale Reduktion). Voraussetzung für die Gültigkeit der Unterraum-Projektion ist ein nur schwach gedämpftes System. Der Vorteil bei dieser Herangehensweise ist die Reduktion des Rechenaufwands. Der Nachteil besteht darin, dass sich die komplexen Eigenformen aus den realen Eigenformen zusammensetzen lassen müssen [5, 103ff]. Im Umkehrschluss bedeutet das: Sollten die realen Eigenformen eine komplexe Eigenform nicht abbilden, geht diese verloren. Dementsprechend wird die Lösung des komplexen Eigenwertproblems von den verwendeten realen Eigenformen beeinflusst.

  4. Gleichung_10_Zahl Gleichung_10


    Im Hinblick auf die benötigten realen Eigenformen muss das allgemeine quadratische Eigenwertproblem als erstes zwangssymmetrisiert werden. Ziel ist es, komplexe Eigenformen auszuschließen. Realisiert wird dies indem die geschwindigkeitsabhängigen Terme in der Berechnung vernachlässigt werden. Zudem werden die tangentialen Freiheitsgrade im Kontaktbereich voneinander entkoppelt. Ergebnis ist ein quadratisches Eigenwertproblem, welches nur reale Eigenformen besitzt.
    Gleichung_11_Zahl Gleichung_11


  5. Im letzten Schritt werden die komplexen Eigenwerte und -formen im Unterraum bestimmt. Als erstes wird dafür der Unterraum aus den realen Eigenformen aufgebaut. Die verwendete Anzahl der realen Eigenformen ist dabei von dem zu überprüfenden Frequenzbereich abhängig. In der Folge wird das quadratische Eigenwertproblem in ein allgemeines Eigenwertproblem (Glg.(8)) umgeformt und im Anschluss gelöst. Abschließend werden die komplexen Eigenformen des Ausgangssystems anhand der komplexen Eigenformen des Unterraums approximiert.
    Simulationsmodell


5. Ergebnisse

Aus Gründen der Geheimhaltungspflicht kann nicht im Detail auf die Systemmodellierung und die daraus resultiernden Ergebnisse eingegangen werden, dennoch soll an dieser Stelle ein Gesamteindruck bezüglich der Modellqualität vermittelt werden. Zur Verdeulichung des Einflusses der Belastung auf das Systemverhalten werden in der Abbildung 3 die Verschiebung für verschieden Lastfällen dargestellt. Es ist zu erkennen, dass sich das Modellverhalten in Abhängigkeit der Belastung unterscheidet.
Ergebnisse_1

Die Darstellung 4 zeigt die simulierte instabile Eigenform und die gemessene Betriebsschwingform der Bremsscheibe. Sowohl bei der simulierten instabilen Eigenform als auch bei der gemessenen Betriebsschwingform ist eine ausgeprägte 0/3 Schwingform deutlich zu erkennen. Außerdem zeigt der Vergleich zwischen der simulierten Eigenfrequenz der instabilen Eigenform und der gemessen Quietschfrequenz eine gute Übereinstimmung. Der Unterschied zwischen Simulationsmodell und Messergebnis beträgt 1,3 %. Insgesamt kann anhand des Simulationsmodells das Systemverhalten gut reproduziert werden.
Ergebnisse_2

6. Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wurde ein Bremssystem bezüglich seines dynamischen Verhaltens untersucht. Ziel der Arbeit war die Entwicklung eines prognosefähigen Finite-Elemente-Modells zur Untersuchung des Stabilitätsverhaltens für das betrachtete Bremssystem. Das Simulationsmodell sollte die Ursache des am Prüfstandstand aufgetretenen Bremsenquietschens nachbilden und zudem die virtuelle Untersuchung der Einflussfaktoren ermöglichen.

Insgesamt liefert die Arbeit einen plausiblen Einblick in die Zusammenhänge zwischen Minimalmodell, Finite-Elemente-Modell und den experimentellen Untersuchungen. Die Untersuchungen haben dabei gezeigt, dass die komplexe Eigenwertanalyse effektiv an bereits validierten Modellen eingesetzt werden kann. In diesem Zusammenhang ermöglicht die Methode eine gezielte Untersuchung bestimmter Parameter des Bremssystems. Die Ergebnisse können in der Folge in neuerliche experimentelle Untersuchungen einfließen. Auf Grund dieses Vorgehens kann die Anzahl der Prüfstandversuche reduziert und demzufolge die Entwicklungszeit und die Entwicklungskosten gesenkt werden. Im Entwicklungsprozess sollte die komplexe Eigenwerteanalyse eine unterstützende Funktion einnehmen. Insbesondere der lineare Ansatz und die Vielzahl an teilweise unbekannten oder vernachlässigten Einflüssen beschränken die Aussagekraft der komplexen Eigenwertanalyse. Aus diesem Grund kann die komplexe Eigenwertanalyse die experimentellen Untersuchungen im Entwicklungsprozess eines Bremssystems nicht vollständig ersetzen.


7. Ausblick


Das aus den Ergebnissen resultierende weitere Vorgehen obliegt dem Sperrvermerk der Volkswagen AG.

8. Quellen

/1/ Buck, A.
Simulation von Bremsenquietschen (Brake Squeal), Dissertation
Technische Universität München 2008
/2/ Hetzler, H.
Zur Stabilität bewegter Kontinua mit Reibkontakten am Beispiel des Bremsenquietschens, Dissertation
Universität Karlsruhe 2008
/3/ Hochlenert, D.
Selbsterregte Schwingungen in Scheibenbremsen: Modellbildung und aktive Unterdrückung von Bremsenquietschen, Dissertation
Technische Universität Darmstadt 2006
/4/ Lunze, J.
Regelungstechnik 1 Systemtheoretische Grundlagen Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 5. Auflage 2006
/5/ Nasdala, L.
FEM - Formelsammlung Statik und Dynamik
Vieweg + Teubner / GWV Fachverlag GmbH Wiesbaden, 1. Auflage 2010
/6/ Schlagner, S.
Schnelle Charakterisierung des Geräuschverhaltens von KFZ-Scheibenbremsen, Dissertation
Technische Universität Berlin 2010
/7/ Soltani, M.
Einarbeitung und Validierung einer Methodik zur rechnerischen Vorhersage von Bremsgeräuschen, Diplomarbeit
Fachhochschule Hannover 2006


9. Über den autor

Marcus Stuht

geboren am 08.06.1983 in Wurzen

  • 2004 - 2005 Fachhochschulreife
  • 2005 - 2009 Diplomstudium des Maschinenbaus an der HTWK Leipzig
  • 2009 - 2011 Masterstudium des Maschinenbaus an der HTWK Leipzig
  • 2012 Abschluss: M.-Eng.


10. Impressum

Autor

Marcus Stuht
Lindenring Nr.52
D 04824 Beucha
marcus.stuht(at)googlemail.com
Betreuer (HTWK)

Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn
Technische Mechanik / Rechneranwendung
FB Maschinen- und Energietechnik / HTWK Leipzig
Koburger Str. 62,
D 04416 Markkleeberg
kloehn(at)me.htwk-leipzig.de
Betreuer ( Firma )

Dr.-Ing. Matthias Körner
Volkswagen AG
Straße Firma
Wolfsburg
matthias.koerner(at)volkswagen.de