Entwicklung einer plattenartigen Leichtbau-Trägerstruktur aus einer Metall-Kunststoff-Werkstoffkombination

 

Development of lightweight design for a panel-shaped structure which consist out of a metal-polymer material combination

 

Tom Kretzschmar

18.02.2010

 

Inhaltsverzeichnis

1. Übersicht

2. Einführung

3. State of the Art - Zum Stand der Technik

4. Zur Theorie

5. Quellen

6. Originalarbeit

7. Über den Autor

8. Impressum

 

Übersicht

In dieser Arbeit wurde ein plattenartiger Hybridträger entwickelt. Ziel war es durch den Einsatz von Metall und Kunststoff eine Leichtbauträgerstruktur zu entwickeln, die den Anforderungen des Lastenheftes gerecht wird. Zudem wurde ein Befestigungskonzept erarbeitet, dass eine belastungsgerechte Lagerung des Trägers ermöglicht.

Die klassische Konstruktionsmethodik wurde durch die Finite-Elemente-Methode dahingehend erweitert, dass bereits bei der Prinzipfindung numerische Berechnungen dabei halfen den besten Kompromiss aus eingesetztem Gewicht und erzielbarer Belastbarkeit zu finden. Weiterhin wurde eine optimale Materialausnutzung mit Hilfe einer Strukturoptimierung für den Kunststoff erreicht. Die speziellen Charakteristika der Hybridbauweise sind in einer ausführlichen Literaturrecherche beleuchtet wurden. Die Erkenntnisse flossen in die Entwicklung der Konstruktion ein.

Unter Beachtung sämtlicher mechanischer Aspekte erfüllt der Träger alle in der Produktspezifikation gestellten Erfordernisse. Der gezielte Einsatz der FEM führte zu einem hohen Materialausnutzungsgrad und somit gleichzeitig zu einem geringen Gewicht der Konstruktion. Die zahlreichen integrierten Funktionen führten zu Einsparungen von Einzelteilen des Gesamtkonzeptes.

In einer kritischen Diskussion wurden alle noch zu analysierenden Punkte aufgeführt. Speziell im Bezug auf die Erarbeitung des Fertigungsprozesses wurde ein Ausblick gegeben, welche Problemstellungen in weiterführenden Untersuchungen noch zu beleuchten sind.

 


 

In this assignment a plate shaped hybrid support has been developed. The objective was to create a lightweight structure by the use of metal and polymer material, which meets all requirements of the product performance specifications. Furthermore a fixing concept has been developed, which achieves a load adjusted bearing of the support.

The conventional methodology of construction is amplified by the finite element analyses so that numerical calculation already helped to find the best compromise between used weight and reachable strength in the process of defining principals. Furthermore an optimal material utilization is reached for the plastic by the help of a structure optimisation. The special characteristics of the hybrid design are regarded in a detailed literature research. The knowledge was implemented into the development of the construction.

Considering all mechanical aspects, the support meets all requirements of the product performance specifications. The specific use of the FEA causes a high grade of material utilisation and simultaneously a low weight of the construction. Numerous functions led to a reduction of components in the overall concept.

All issues that have to be regarded further are listed in a critical discussion. Related to the formulation of the manufacturing process, an outlook is given which issues still should be analysed in ongoing investigations.

Einführung

Die Menschheit ist seit jeher damit beschäftigt den bisherigen Entwicklungsstand voranzutreiben. Dieser Grundgedanke steht insbesondere in der Technik im Vordergrund. Es werden neue Dinge geschaffen und bestehende Systeme weiterentwickelt. Das Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik Halle agiert ebenfalls nach diesen Prinzipien. Das Institut arbeitet mit zahlreichen Industriepartnern zusammen. Es werden eine Reihe von Projekten bearbeitet, wobei z.B. komplette Produktentwicklungen durchgeführt werden.

In dieser Arbeit wurde eine Trägerstruktur aus Metall und Kunststoff entwickelt. Die genaue spätere Verwendung wird hier nicht näher erläutert aus Gründen der Geheimhaltung. Die plattenartige Struktur enthält einen Grundmetallrahmen, der mit Kunststoff ummantelt ist. Diese Bauweise wird als Hybridkonstruktion bezeichnet. Dabei werden die gegensätzlichen Eigenschaften der beiden Materialen miteinander kombiniert. Es werden jeweils die Vorteile ausgenutzt und die Nachteile durch den anderen Werkstoff vermindert. So kann zum Beispiel die relativ hohe Festigkeit des Stahls, die notwendige Tragfähigkeit erfüllen und der umhüllende Polymerwerkstoff schützt durch seine Korrosionsbeständigkeit vor Umwelteinflüssen.

Das zu entwickelnde Konzept, ist unter dem Aspekt des Leichtbaus als möglichst optimale Variante zu entwerfen. Alle aufgeführten Punkte in der Anforderungsliste, die mit dem Industriepartner vereinbart sind, müssen betrachtet werden. Die Teilaufgaben gliedern sich in die Auslegung der Metallgrundstruktur, die Gestaltung des umhüllenden Kunststoffes, Anordnung und Form von Kunststoffrippen, die die Freibereiche zwischen den Metallstreben aussteifen und die Konstruktion der Befestigungselemente des Trägers. Die Analyse bezüglich der mechanischen Festigkeit der einzelnen Komponenten wird mit Hilfe des Finite-Elemente-Berechnungsprogramms Ansys Classic© durchgeführt. Durch den gezielten Einsatz der FEM im Entwicklungsprozess können Zeit und Kosten minimiert werden. Zudem ermöglicht die numerische Berechnung von komplexen Bauteilen eine genauere Betrachtung im Vergleich zu den analytischen Lösungen, die dem Konstrukteur zur Verfügung stehen, da oft die Randbedingungen des Systems nicht vollständig abgebildet werden können [1]. Diese neue Konstruktionsmethodik wird immer häufiger in der Technik eingesetzt und bietet weitreichende Vorteile [2]. Unter anderem kann durch Optimierungsalgorithmen die FEM dazu genutzt werden, mechanische Spannungen in Bauteilen zu minimieren. Diese spezielle Entwicklungsmethodik soll den Materialeinsatz, der für die Kunststoffrippen notwendig ist gering halten.

Das Ziel der durchzuführenden Arbeit ist, die Entwicklung eines plattenartigen Trägers, der in der Lage ist, die gestellten Anforderungen zu erfüllen. Alle aufgeführten Punkte des Lastenheftes, das im folgenden Abschnitt 2.1 dargestellt ist, müssen erfüllt werden. Für das IWM Halle soll eine Grundlage geschaffen werden, die die mechanischen, funktionellen und ökonomischen Aufgaben erfüllt. Der Entwicklungsprozess, einschließlich aller Berechnungen und Grundgedanken zum Konzept, ist zu dokumentieren. Weiterhin soll das Endergebnis als dreidimensionaler CAD-Datensatz zur Verfügung stehen.

State of the Art - Zum Stand der Technik

Charakterisierung von Hybridstrukturen

Ein Hybrid besteht aus mindestens zwei oder mehreren Komponenten, die durch den gleichzeitigen Einsatz in einem Systemverbund ein neues Eigenschaftsprofil besitzen. Je unterschiedlicher die Werkstoffkategorien ursprünglich sind, desto größer ist das erzielbare Verbesserungspotenzial, wenn dabei jeweils die Vorteile der einen Komponente die Nachteile der anderen ausgleichen können. Ein solches unterschiedliches Portfolio an Eigenschaften zeigen Kunststoffe und Metalle. Zum Beispiel weisen Metalle hohe Festigkeiten und Steifigkeiten auf, hingegen sind Kunststoffe mit hohen Bruchdehnungen gutmütiger für Verformungen. Die Automobilindustrie erkannte das Potential der Werkstoffkombination. Audi führte mit dem Frontend des Audi A6 1998 das erste Großserien-Hybridbauteil ein. Damit konnten Gewichtseinsparungen von 15 % erreicht werden, bei gleichzeitiger Verringerung der Herstellungskosten um 10 % [3].

Das Ziel der Hybridkonstruktion liegt darin, eine kosten- und ressourcensparende Lösung zu entwickeln, die Vorteile kombiniert und Nachteile kompensiert. In Tabelle 2.1 sind die Eigenschaften der beiden Verbundpartner dargestellt.

 

Tab. 2.1: Eigenschaften von Metallen und Kunststoffen [4,5]

Besonders gut lassen sich Hybridbauteile im Bereich des Leichtbaus einsetzen. Dabei werden meist dünnwandige Blechstrukturen verwendet, welche aufgrund der relativ hohen Dehnsteifigkeiten im Vergleich zum Kunststoff den größten Teil der Belastung aufnehmen. Der Einsatz des Polymerwerkstoffes dient dazu, strukturmechanisch negative Belastungsarten der Metallgeometrie durch die Erhöhung der Torsionssteifigkeit von offenen Profilen, Erhöhung der Beulsteifigkeit von schlanken Bauteilen, Verringerung von Kerbwirkungen im Metall an Einschnitten und die Möglichkeit der verteilten Krafteinleitung ins Metall besser aufzunehmen [4]. Die Flankenaufweitung eines U-Profils führt zu einer erheblichen Abminderung der Festigkeit. Abbildung 2.1 zeigt, dass durch die Verstärkung mittels Kunststoffrippen die Biege- und Torsionssteifigkeiten offener Profile erheblich erhöht werden können. Dabei weist das eingesetzte glasfaserverstärkte Polyamid (PA 6-GF) im Verbund eine größere erreichbare Festigkeit als das wesentlich steifere PBT-GF 35 auf. Dies folgt aus dem besseren Vermögen lokalen Deformationen nachgeben zu können, dass z. B. das Ablösen des Kunststoffes verhindert [6].

Abb. 2.1: Biege- und Torsionssteifigkeiten von U-Verbund-Profilen aus Stahlblech mit und ohne Kreuzverrippung aus Kunststoffen [6]

Ein weiterer Vorteil ist die hohe Funktionsintegration, die erreicht werden kann. Es besteht die Möglichkeit Füge- und Verbindungselemente im Bauteil vorzusehen. Dadurch wird die Teilevielfalt reduziert und es werden Prozessschritte in der Produktion eingespart [4]. Anwendung findet dies bei der Insert- und Outsert-Technik. Bei letzterem werden Kunststoffelemente in Metallbauteile gespritzt für Einschraubstellen, Distanzhalter, Gleitführungen und Ähnliches. Somit werden Montageschritte eingespart. In entgegengesetzter Weise arbeitet die Insert-Technik, bei der Metallkomponenten als lokale Verstärkungen in Kunststoffteile eingesetzt werden [6]. Bei der one-shot Hybridtechnik wird das Höchstmaß an Funktionsintegration erreicht, da sowohl Verbindungselemente (Einschraubstellen, Snap-In-Verbindungen usw.) und Funktionselemente (Gleitlager usw.) eingebunden werden. Aber gleichzeitig wird auch die Strukturfestigkeit erhöht. Diese Verarbeitungstechnik basiert auf einem ähnlichen Prinzip wie das Spritzgießen. Die Metallstruktur wird in einem Schuss mit dem Polymer im Spritzgusswerkzeug verbunden [7].

Ehrenstein (1995) nennt Geräuschdämpfung, Korrosionsbeständigkeit, stilistische und aerodynamische Gestaltungsfreiheit und ein niedriges Gewicht als weitere Vorteile der Hybridbauweise.

Die stark differierenden Eigenschaften der Verbundpartner führen auf der einen Seite zu einem erheblichen Potential an Verbesserungen. Jedoch entstehen auch Nachteile, die den Entwicklungsprozess derartiger Hybridstrukturen erschweren. Angefangen von der Gestaltung bis hin zur Fertigung müssen spezielle Eigenheiten berücksichtigt werden. Die stark unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten haben schon im Fertigungsprozess erhebliche Folgen. Es entstehen Wärmespannungen im Bauteil die zum Verzug bzw. Versagen des Bauteils führen können. Es sollte deswegen auf einen möglichst symmetrischen Aufbau der Konstruktion geachtet werden [6]. Weiterhin haben thermische Wechselzyklen negativen Einfluss auf die Langzeitbeständigkeit der Hybridstruktur [8]. Die Metallkomponenten sollten keine Kerbwirkung auf den Kunststoff ausüben, d.h. auf Gradfreiheit und Abrundungen ist zu achten. Ebenfalls müssen Aussparungen im Metall, die den Verbund mit dem Polymer erhöhen sollen, in Form und Anordnung so gestaltet werden, dass Kerbspannungen möglichst gering sind. In Abbildung 2.2 sind die verschiedenen Verbindungsmöglichkeiten zwischen Kunststoff und Metall mit den dazugehörigen Belastungsrichtungen dargestellt. Ehrenstein (2004) hat zu den formschlüssigen Verbindungsmöglichkeiten verschiedene Untersuchungen durchgeführt und gezeigt, dass die mögliche Auszugskraft mit steigendem Querschnitt der Aussparrung zunimmt (Abb. 2.3).

Abb.: 2.2 Verbindungsmöglichkeiten zwischen Kunststoff und Metall in der one-shot Hybridtechnik und mögliche Belastungsrichtungen [3]  
a: Durchbrüche in der neutralen Faser geeignet für biegebelastete Metallrippen b: Aussparungen vorzusehen in den Randbereichen der Blechstruktur mit geringen Randfaserspannungen c, d: fertigungstechnisch aufwendig, gut geeignet für Schubbelastung e, f: gut geeignet für Schubbelastung, mindern Festigkeit der Blechstruktur ab.

 

Nicht nur Form und Lage der Aussparungen beeinflussen die Festigkeit des Metall-Kunststoffverbundes, sondern auch die Haftfestigkeit der Verbundpartner hat erheblichen Einfluss auf die Beanspruchbarkeit der Hybridstruktur [4]. Somit ist das Ziel ein kohäsives, statt adhäsives Versagen im Schadensfall zu erreichen. Adhäsion bezeichnet das Phänomen der Haftung zweier in Kontakt befindlicher Körper. Zu ihrer theoretischen Erklärung wurden von Bischof et. al (1983) [9] eine Reihe von Modellvorstellungen entwickelt. Grundlegend besteht eine schlechte Verbindungsfähigkeit, da Metalle und Kunststoffe chemisch unähnlich sind, eine geringe Oberflächenenergie vorhanden ist, eine schlechte Benetzungsfähigkeit gegeben ist, die Polarisationen unterschiedlich sind und beide Partner sich in ihrem Wärmeausdehnungskoeffizienten unterscheiden [10]. Die Haftfestigkeit lässt sich durch unterschiedlichste Beschichtungstechniken verbessern. Zaho (2002) konnte zeigen, dass Verzinken eine bessere Adhäsion ermöglicht. Zudem sind freiliegende, nicht vom Kunststoff umhüllte Bereiche des Stahls, der grundsätzlich rostanfällig ist, vor Korrosion geschützt. Eine weitere Möglichkeit sind Haftvermittler, die die Oberfläche des Metalls aktivieren und eine bessere Langzeitbeständigkeit bieten [11]. Bei der Verarbeitung dieser ist darauf zu achten, dass die Oberflächen von Verunreinigungen befreit sind, um einen optimalen Kontakt zu gewährleisten [10]. Die hohe Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten der verschiedenen Materialien ergibt die Problematik der genauen und fallbezogenen Auslegung der Verbindung bezüglich der Adhäsionsfähigkeit. Aufgrund der noch geringen Erkenntnisse in dieser Disziplin sind meist experimentelle Untersuchungen für jeden spezifischen Fall nötig. Somit ist ein hoher Entwicklungsaufwand notwendig.

 

Abb.: 2.3 Auszugskraft für verschiedene Querschnittsflächen der Aussparung,

Werkstoffpaarung: Stahl DC01 (1 mm) und PP-GF 30 (2 mm) [3]

a: Auszugskraft für kreisförmige Querschnitte, b: Auszugskraft für rechteckige Querschnitte

Werkstoffcharakterisierung

Der Hybridträger besteht aus Stahl und Kunststoff. In diesem Abschnitt wird einzig auf die Eigenschaften des Kunststoffes eingegangen. Diese haben spezielle Charakteristika, die entscheidenden Einfluss auf die Belastbarkeit der Konstruktion haben. In dem Einsatzbereich zwischen -40 °C und 80 °C haben Stähle ein linear-elastisches Verhalten und weisen daher keine Besonderheiten auf.

Polymere

Kunststoffe sind organische Kohlenwasserstoffverbindungen, die synthetisch hergestellt werden. Überwiegend enthalten diese den Grundbestandteil Ethylen. Dieses Monomer gehört zu den Alkenen, welche sich besonders durch die Doppelbindung der zwei Kohlenstoffatome und die vier Wasserstoffatome auszeichnet. Eine Reihe weiterer Monomere lassen sich durch Substitution der Wasserstoffatome mit Chlor (Cl), Stickstoff (N), Sauerstoff (O), Methyl (CH3), Styrol (Benzolring) usw. herstellen. Die Kunststoffe (Polymere) sind langkettige Makromoleküle und werden mittels Polymerisation, Polykondensation und Polyaddition aus den Monomeren gewonnen. Die Kunststoffe werden nach ihrem Aufbau in drei Kategorien eingeteilt:

  • Thermoplasten
  • Duroplasten
  • Elastomere

Thermoplasten bestehen aus fadenförmigen Makromolekülen, die durch Verschlingungen und Nebenvalenzkräfte mechanisch verbunden sind. Die intermolekularen Verbindungen sorgen für die starke Temperaturabhängigkeit der Festigkeit des Werkstoffes. Zusätzlich werden Thermoplasten in teilkristalline und amorphe Polymere unterschieden. Bei letzterem sind die Kettenmoleküle wattebauschartig in einander verschlungen. Teilkristalline Thermoplasten enthalten Anteile von Bereichen mit ausgerichteten Fadenmolekülen. Die Eigenschaften sind abhängig vom chemischen Aufbau der Monomere, der Kettenlänge, dem kristallinem Anteil und der Art der Nebenvalenzbindung (Dipol-Dipol-Bindung, Induktionskräfte, Dispersionskräfte, Wasserstoffbrückenbindung) [12].

Duroplasten weisen einen sehr hohen Vernetzungsgrad der Makromoleküle auf. Sie besitzen eine amorphe Struktur und können nach der erstmaligen Formgebung nur spanend bearbeitet werden [13].

Elastomere sind schwach vernetzte Polymere bei denen die Molekülketten amorph angeordnet sind. Sie besitzen gute Verformungseigenschaften können aber kaum umgeformt oder geschweißt werden [12].

Im folgenden Abschnitt werden die Eigenschaften der Kunststoffe aufgrund der hohen Sortenvielfalt einzig für den Thermoplast Polybutylenterephtalat PBT beschrieben. Er ist ein Hauptbestandteil des Hybridträgers. Da die speziellen Eigenschaften des Polymers die Gesamtfunktion maßgeblich beeinflussen, werden Aufbau und Verhaltensweisen bei verschiedenen Belastungsarten folgend betrachtet.

Polybutylenterephtalat

PBT ist seit über 10 Jahren ein häufig verwendeter Kunststoff. Weltweit wurden 2005 rund 580.000 t verarbeitet. Abbildung 2.4 zeigt, dass dabei die Fahrzeugindustrie eines der größten Einsatzgebiete darstellt. PBT wird aufgrund seiner schnellen Kristallisation meist im Spritzguss verarbeitet [14].

Abb. 2.4: Industrieverwendung von PBT, bei einem Gesamteinsatz von 180.000 t in Europa (Stand: 2003) [14]

 

Abb. 2.5: Reaktionsgleichung bei der Herstellung von Polybutylenterephtalat

Das PBT ist ein gesättigter Polyester und wird durch Polykondensation hergestellt. Bei dieser reagiert eine Säure mit Alkohol, wobei Wasser und eine Ester-Verbindung entstehen. Der Alkohol ist Butylenglykol, ein sog. Diol, d.h. es sind zwei OH-Gruppen vorhanden. Demzufolge muss der Reaktionspartner eine Dicarbonsäure sein (Terephthalsäure). Durch die Kondensation von Wasser aus beiden Reaktionspartnern entstehen Makro-Molekülketten. Die (CH ) -Gruppe des Butylenglykols sorgt für den teilkristallinen Aufbau des Polybutylenterephtalat, da diese für eine gute Anordbarkeit der Ketten verantwortlich sind [13]. In Abbildung 2.5 ist die Reaktionsgleichung der Polykondensation dargestellt.

Das PBT wird für maßhaltige Formteile im Maschinenbau, Feinwerktechnik, Haushalt und Büromaschinen eingesetzt. Es werden Halbzeuge als Tafeln und Profile hergestellt. PBT ist aufgrund seiner guten Eigenschaften vielseitig einsetzbar. Diese werden folgend dargestellt [12,15]:

  • Günstige mechanische Eigenschaften, bei tiefen und hohen Temperaturen
  • Gutes Langzeitverhalten
  • Geringer Abrieb, bei gleichzeitig guten Gleiteigenschaften
  • Geringe Feuchteaufnahme
  • Kleine Wärmedehnungen
  • Sehr gute elektrische Isoliereigenschaften
  • Nicht beständig gegen heißes Wasser/Dampf, Aceton, halogenhaltige Lösungsmittel, starke Säuren und Laugen

Für den Hybridträger wird ein glasfaserverstärktes PBT GF 30 eingesetzt, da hohe Anforderungen an die Festigkeit und die möglichst geringe Wärmeausdehnung gestellt werden. Das GF 30 steht für einen 30 %-igen Glasfasereinsatz. Am Markt existieren zahlreiche Hersteller für PBT sowie PBT GF 30, wobei die folgenden Handelsnamen verwendet werden [14]:

  • Arnite (DSM/NL)
  • Bergadur (PolyOne/USA)
  • Celanex (Ticona/DE)
  • Crastin (DuPont/USA)
  • Novadur (Mitsubishi/JP)
  • Orgagter (Atochem/FR)
  • Pibiter (P-Group/IT)
  • Ultradur (BASF/DE)

Kunststoffe weisen eine Glasübergangstemperatur auf. Diese wird mit der DSC (Differential Scanning Calorimetrie), DMA (Dynamisch-Mechanische Analyse) oder TMA (Thermo-Mechanische Analyse) ermittelt [16]. Bei dieser Temperatur wechseln die Makromolekülketten vom eingefrorenen Zustand in eine spontane Mobilität. Es treten Mikro-Brown'sche-Bewegungen auf. Je nach Stärke der Nebenvalenzbindung entscheidet sich die Höhe der Glastemperatur. Hohe Sekundärbindungskräfte sorgen für hohe Glastemperaturen, gleichzeitig aber auch für eine hohe Sprödigkeit bei niedrigen Temperaturen [17]. Bei PBT liegt die Glasübergangstemperatur zwischen 45-60 °C [18]. Teilkristalline Thermoplaste besitzt zusätzlich eine Kristallisationstemperatur. Bei dieser lösen sich die teilkristallinen Bereiche auf und die mechanischen Eigenschaften fallen rapide ab. In Abbildung 2.6 ist der Verlauf der Zugfestigkeit und der zugehörigen Dehnung in Abhängigkeit von der Temperatur aufgezeigt.

 

Abb.: Spannungs- und Dehnungsverlauf aufgetragen über die Temperatur [19]

Charakteristische Temperaturen: = Glastemperatur, = Kristallisationstemperatur, = Schmelztemperatur

 

In dem Bereich zwischen Glastemperatur und Kristallisationstemperatur (220-225 °C [20]) wird das PBT eingesetzt. Kurz Oberhalb dieses Bereiches wird das Polymer plastisch urgeformt. Eine weitere Temperaturerhöhung führt zu einem sehr niedrig viskosen Zustand, der für die Spritzgießverarbeitung nicht mehr relevant ist [21]. Ab tritt die Zersetzung ein. Dabei werden die Hauptvalenzbindungen aufgespalten [18].

Spritzgegossene faserverstärkte Thermoplaste haben eine anisotrope Faserorientierung. Die Fasern richten sich nach den Strömungsverhältnissen in der Kunststoffschmelze aus. Das Geschwindigkeitsprofil der Schmelze in der Kavität bestimmt die Orientierung [22]. Eine einfache Modellvorstellung von Helger [23] geht von einem 3-Schichtaufbau aus. Im Kernbereich sind die Fasern quer zur Strömung orientiert. In den Randbereichen treten hohe Geschwindigkeitsgradienten auf. Dies sorgt für ein unterschiedlich großes Kräftepaar an den Enden der Faser. Somit wird diese in Richtung der Strömung gedreht. Andere Modelle existieren mit sieben und neun Schichten. Die Faserorientierung kann experimentell bestimmt werden z.B. per Bildanalyse von Schliffbildern, bildanalytische Auswertung von Röntgenaufnahmen, Ultraschallverfahren, Computertomographie oder der Fraunhofer Diffraktometrie, welche mittels gebeugter Laserstrahlen die Faserorientierung erfasst. Neben der experimentellen Bestimmung der Lage der Fasern können auch Füllsimulationen angewendet werden. Kommerzielle Programme wie Moldflow, Cadmold und C-Mold bieten diese Möglichkeit [22].

 

Abb. 2.7: Kriechverhalten an unidirektionalen Probekörpern, orthogonal und parallel zur Faserrichtung für PBT GF 30 [24]

Die ausgeprägte Anisotropie führt zu richtungsabhängigen Werkstoffeigenschaften. Abbildung 2.7 zeigt die Abhängigkeit der Dehnung von der Zeit für ein PBT GF 30. Die Dehnung längs zur Faserrichtung ist signifikant kleiner über den gesamten Zeitintervall als quer zur Faserrichtung. Sowohl die mechanischen Eigenschaften als auch die thermischen Eigenschaften sind richtungsabhängig. Die Schwindung des Bauteils ist orthogonal größer als parallel zur Faserrichtung [20]. Daraus resultiert eine hohe Verzugswahrscheinlichkeit. Mit den gewonnenen Daten aus der Füllsimulation ist es möglich die Faserorientierung auf ein FEM-Modell zu übertragen. Dazu werden die transversal-isotropen Materialeigenschaften eines unidirektionalen Faserverbundes für die jeweilige Richtung pro Element aufgetragen. Somit können das mechanische Verhalten unter Belastung oder der thermische Verzug bei Temperaturunterschieden berechnet werden.

All diese speziellen Charakteristika der Kunststoffe machen es notwendig bei der Dimensionierung Werte für die Festigkeitsabminderung zu bestimmen. Andernfalls müssen die zulässigen Grenzwerte fallspezifisch mit Experimenten oder aufwendigen Simulationen des Materialverhaltens ermittelt werden.

 

Zur Theorie

Gundlagen der Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) hat es ermöglicht, immer komplexere physikalische Sachverhalte mit der modernen sehr leistungsfähigen Rechentechnik zu analysieren. Ein kontinuierliches System wird aus endlich kleinen (finite) Elemente aufgebaut. Diese Diskretisierung erzeugt Knotenpunkte mit verschieblichen Freiheitsgraden. Die Methode beruht auf vier Schritten in der Vorgehensweise, welche in der Strukturmechanik z.B. für das Prinzip der virtuellen Verrückungen verwendet werden. Zuerst werden die:

  • physikalischen Zusammenhänge auf Elementebene formulieren,
  • Knotenverschiebungen berechnet,
  • anschließend die daraus resultierenden Verzerrungen und
  • zuletzt erhält man die Spannungen über das Werkstoffgesetz.

Die folgenden Erläuterungen geben nur einen Einblick in die Vorgehensweise der FEM. Es werden Berechnungsmethoden für 1D-Elemente mit wenigen Freiheitsgraden vorgestellt.

 

Prinzip der virtuellen Verrückungen

Die FEM kann auf verschiedenen Prinzipen aufbauen. Nachfolgend wird auf das Prinzip der virtuellen Verrückungen als eine mögliche Grundlage der FEM eingegangen. Dieses beruht auf dem Grundsatz, dass Gleichgewicht genau dann herrscht, wenn die sogenannte virtuelle innere Arbeit gleich der virtuellen äußeren Arbeit ist. Virtuelle Arbeit wird von einer (wirklichen) Kraft auf ihrem ``gedachten'' Weg, der zugehörigen virtuellen Verschiebung geleistet. Eine virtuelle Verschiebung muss kinematisch möglich sein und darf die Randbedingungen nicht verletzen. Die Stetigkeit der Verschiebungen und der Stoffzusammenhalt sind geforderte Bedingungen [25]. Folgend wird am Beispiel des Federelementes die virtuelle innere Arbeit (VIA) in Matrizenform hergeleitet. Laut Definition ist für die Feder die VIA, das Produkt aus (innerer) Federkraft und der virtuellen Verschiebung . Die Federkraft ergibt sich aus dem Produkt der Federkonstanten und der Verschiebung .

Virtuelle innere Arbeit der Feder:

(1)

 

Abb. 3.1: Anteile der Verschiebung und der virtuellen Verschiebung

In Matrizenschreibweise stellt sich die Gleichung wie folgt dar:

(2)

Für eine einheitliche Nomenklatur werden Verschiebungsvektor, virtueller Verschiebungsvektor und Steifigkeitsmatrix wie folgt definiert:


(3)

(4)

(5)

Somit ergibt sich die virtuelle innere Arbeit für das Federelement zu:

(6)

Für eine System, dass aus mehreren Feder besteht, müssen die jeweiligen VIA zu der gesamten virtuellen inneren Arbeit aufsummiert werden. Um eine Konnektivität der einzelnen Elemente zu dem System herzustellen, werden die kinematische Verträglichkeitsbedingung zwischen System und Elementfreiheitsgraden formuliert. Daraus entstehen die Inzidenzmatrizen.


(7)

(8)

Somit kann die gesamte virtuelle innere Arbeit des Systems wie folgt geschrieben werden:


(9)

(10)

(11)

(12)

Wobei die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Systems darstellt.

(13)

Die Berechnung der virtuellen inneren Arbeit für andere Elemente wie z.B. Normalkraftstab, Balken und Rahmenelement erfolgt auf analoge Weise, einzig die Elementsteifigkeitsmatrix hat eine andere Form.

Die virtuelle äußere Arbeit ergibt sich aus dem Systemlastvektor und der virtuellen Systemverschiebung. Setzt man diese nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen mit der VIA gleich, ergibt sich folgender Zusammenhang:


(14)

(15)

(16)

Bei nicht verschwindender und beliebiger virtueller Verrückung kann diese Gleichung nur Null werden, wenn der mit geschweifter Klammer gekennzeichnete Term verschwindet. Somit ergibt sich eine der Grundgleichungen der FEM, die als Gleichgewichtsbedingung deutbar ist: Das Produkt aus Systemsteifigkeitsmatrix und Systemverschiebungsvektor (innere Kräfte) ist gleich dem Systemlastvektor (äußere Kräfte).

(17)

mit der formalen Lösung

(18)

Wenn der Systemverschiebungsvektor bekannt ist, kann mittels der Verträglichkeitsbedingungen der Elementverschiebungsvektor berechnet werden. Die Elementkräfte ergeben sich aus der ersten Zeile der Elementsteifigkeitsmatrix multipliziert mit dem Elementverschiebungsvektor. Die Normalspannungen können mittels des Werkstoffgesetzes berechnet werden.


(19)

(20)

 

Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix

Für jede Problemklasse, wie z. B. jene typischen der Strukturmechanik

  • 1D-Normalkraftstab (Normalkraftverlauf)
  • 1D-Balken (Querkraft und Momentenverlauf)
  • 1D-Rahmenelement (bildet Normalkraft, Querkraft und Moment ab)
  • 2D-Shell-Elemente (bildet den ebenen Spannungszustand ab)
  • 3D-Solid-Elemente (bildet den räumlichen Spannungszustand ab)

lassen sich die Elementsteifigkeitsmatrizen der sog. Elementtypen angeben. Im Unterschied zur Feder ist es allerdings erforderlich - und das ist ein typisches Merkmal der FEM -, die gesuchten Verschiebungen und virtuellen Verrückungen mittels Freiheitsgraden (Elementknotenverschiebungen) und sogenannter Formfunktionen zu interpolieren. Für einen Normalkraftstab beispielsweise (Abbildung 3.2 links) ist die eintretende Dehnung infolge einer Normalkraft nur dann konstant ansteigend, wenn der Querschnitt des Stabes über die gesamte Länge gleich ist bzw. der Elastizitätsmodul konstant bleibt. D.h. die Dehnsteifigkeit unverändert bleibt. Zum Beispiel entsteht für eine linear abfallende Querschnittsfläche eine progressiv ansteigende Längenzunahme des Stabes (Abbildung 3.2 rechts).

 

Abb. 3.2: Normalkraftstab (links), Längenänderung des Normalkraftstabes bei konstanter und linear abfallender Querschnittsfläche (rechts)

Die tatsächliche Verschiebung wird in der FEM mittels der erwähnten Formfunktionen und dem Elementknotenverschiebungsvektor (Elementfreiheitsgrade) approximiert. Daraus folgt die angenäherte Verschiebung . Gleiches gilt für die virtuellen Verschiebungen. Mit den in Abbildung 3.3 gezeigten Formfunktionen werden lineare Verläufe abgebildet.

 

Abb. 3.3: Formfunktionen des Normalkraftstabes

 


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(22)

(23)

Die genäherte virtuelle innere Arbeit berechnet sich nach Gleichung 3.24. Nichtlineare Verschiebungsverläufe die aus veränderlichen Dehnsteifigkeiten resultieren, werden in Gleichung 3.24 durch ein von der Koordinate abhängiges abgebildet. Mit 3.21 und 3.22 kann die Gleichung für die Elementsteifigkeitsmatrix eines Normalkraftstabes hergeleitet werden.


(24)

(25)

(26)

(27)

Elementsteifigkeitsmatrix für ein Normalkraftstab mit konstanter Dehnsteifigkeit :

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Strukturoptimierung

In der Technik ist man bestrebt alle Prozesse und Strukturen so zu optimieren, dass der Aufwand für Zeit, Kosten Material usw. möglichst minimal ist. Gleichzeitig sollte aber ein hoher Nutzen daraus entstehen. Oft erfolgt die Optimierung auf Grundlage von Erfahrungen. Der erste Entwurf eines Bauteils wird mit Berechnungen auf Schwachstellen überprüft. Aufgrund der aufgezeigten Probleme wird durch den Ingenieur die Gestaltung angepasst und die neuerlangte Geometrie wird wiederum auf ihre Tauglichkeit hin überprüft. Dieser iterative Prozess kann langwierig sein und trotzdem nicht zu dem optimalen Ergebnis führen. Mit Hilfe von mathematischen Algorithmen wird der Ablauf weitestgehend automatisiert und es kann unter den gegebenen Randbedingungen das Optimum bestimmt werden. Dabei wird eine Zielfunktion bestimmt, die durch Variation der Designvariablen minimiert oder maximiert wird [27]. Der Optimierungsalgorithmus ist diskontinuierlich. Nach der ersten Iteration wird die Systemantwort beurteilt und daraufhin werden die Designparameter variiert. Diese Abfolge wird wiederholt, bis ein definiertes Abbruchkriterium erfüllt ist [28] (siehe Abbildung 3.7).

Abb. 3.7: Schemata einer Strukturoptimierung mit Hilfe von FE- und Optimierungstools

Die Optimierung erfordert, dass alle Randbedingungen mit einbezogen werden. Zum Beispiel sind die gesamten vorkommenden Lastfälle zu betrachten. Wenn ein Bauteil für eine bestimmte Beanspruchung verbessert wird, ist das Material nur in den benötigten Bereichen vorhanden. Bei einem nicht berücksichtigten, eintretenden Lastfall, wird es zu einem Versagen kommen [28].

In der Praxis finden sogenannte Optimierungstools ihren Einsatz, bei denen die verschiedenen mathematischen Algorithmen implementiert sind. Diese werden mit Finite-Elemente-Berechnungsprogrammen kombiniert. Das Optimierungsprogramm (z.B. optiSLang) wird verwendet, um die Eingaben mittels einer Batch-Datei in das FE-Programm (z.B. Ansys Classic) zu steuern. Diese enthält alle Angaben, die für die FE-Analyse notwendig sind. Die Geometrie- und Materialdaten werden parametrisiert eingeben. Der Ablauf vom Aufbau der Geometrie, Diskretisierung des Bauteils in Elemente (Preprocessor), Berechnung der Lösung (Solver), bis hin zur Auswertung der Ergebnisse (Post-Processor) erfolgt automatisch. Die erhaltenen Lösungen wie Spannungen, Verschiebungen, Eigenfrequenzen usw. werden an das Optimierungstool übergeben. Dieses bewertet die Parameter mit den dazugehörigen Ergebnissen (Abbildung 3.7). Es korreliert z.B. die maximal auftretende Spannung im Bauteil mit der eingesetzten Masse. Die Zielfunktion könnte in dem Fall das Produkt aus Spannung und Masse sein. Diese wird nun minimiert, so dass kleine Spannungen bei gleichzeitig geringer Masse auftreten. D.h. es wird eine optimale Gestalt gefunden. Die prozentuale Verbesserung der Zielfunktion, bezogen auf den Vorgängerwert, ist das Abbruchkriterium. Wenn dieses nicht erreicht ist, startet eine neue Iteration mit variierten Designparametern.

Es gibt drei Arten der Strukturoptimierung [27,28]:

  • Dimensionierung (Sizing): Dabei werden einzig Wandstärken, Längen, und Durchmesser auf ein Optimum angepasst.
  • Formoptimierung: Die Kontur des Bauteils wird so verändert, dass z.B. ein konstanter Spannungsverlauf entsteht. Knotenkoordinaten des FE-Netzes werden verschoben.
  • Topologieoptimierung: In einem definierten Bauraum werden Randbedingungen vorgegeben (Auflagerpunkte, Krafteinleitung). Die Lage der Elemente im Bauraum wird so optimiert, dass ein günstiger Kraftfluss von Krafteinleitung zum Auflager bei gleichzeitig geringen Masseaufwand entsteht.

In dieser Arbeit wird die Form von Kunststoffrippen für einen möglichst homogenen Verlauf der Randfaserspannung optimiert. Um einen Einblick in die Vorgehensweise von Optimierungsproblemen zu geben, werden folgend Grundlagen vorgestellt sowie auszugsweise einige mathematische Optimierungsalgorithmen erläutert.

 

Grundlegende Begriffe

Bei einer eindimensionalen Optimierung ist die Zielfunktion von einem Parameter abhängig. In der Praxis stehen jedoch vielmehr mehrdimensionale Problemstellungen im Vordergrund. D.h. es besteht eine Abhängigkeit von mehreren Parametern. Bei beiden Formen kann es zu einer lokalen als auch globalen Optimierung kommen. Letztere ist bestrebt, das absolute Extrema der Zielfunktion zu finden. Dieses ist problematisch, da die meisten Algorithmen nur in der Lage sind, lokale Extrema zu bestimmen. Es müssen Zufalls- bzw. evolutionäre Algorithmen verwendet werden, die aber nicht zwingend das absolute Optimum liefern.

Die Parameter eines Designs können immer nur in bestimmten Grenzen variiert werden. Dafür sind z.B. ökonomische, funktionale oder sicherheitsrelevante Anforderungen verantwortlich. Die Parameter unterliegen somit Restriktionen.

Ein Entscheidungskriterium, ob eine Funktion in einem bestimmten Intervall mehrere Extrema aufweist, ist die Konvexität. Hat eine eindimensionale Funktion nur ein lokales Minima, so sind alle Funktionswerte einer Geraden die als Sekante der Funktion innerhalb der Restriktionen aufgespannt ist, immer größer als die Funktionswerte von . Hierbei spricht man von Konvexität. Diese ist aber nur ein hinreichendes und kein notwendiges Kriterium. D.h. im Falle, dass die Gerade mehr als zwei Schnittpunkte mit der Funktion aufweist, kann diese trotzdem nur ein Extremum aufweisen (Abbildung 3.8) [28].

 

Abb. 3.8: Konvexität von Funktionen [28]

 

Eindimensionale Optimierungsalgorithmen

Selten werden in der Praxis Optimierungsprobleme mit nur einer Designvariable verwandt. Allerdings wird beim Einsatz von Suchrichtungsverfahren das mehrdimensionale Problem auf ein eindimensionales Problem kondensiert [28].

Die Methode des Goldenen Schnittes ist ein sehr robustes Verfahren. Es startet mit der Eingrenzung des Minimums. Dazu werden drei Punkte (, , ), mit jeweils ansteigenden Werten der Variable aufgestellt. Durch folgende Bedingung wird sicher gestellt, dass sich mindestens ein Minimum im Intervall befindet.

(39)


In dem festgelegtem Intervall wird ein weiterer Punkt definiert. Ist der Funktionswert an dieser Stelle geringer als von , ergibt sich ein neuer Startintervall . Ansonsten ist der Intervall . Durch diese fortschreitende Eingrenzung des Minimums wird die gewünschte Genauigkeit erreicht.

Bei einfachen, glatten Funktionsverläufen erweist sich die Polynominterpolation als sehr effektives Verfahren. Dabei wird aus den drei ermittelten Punkten des Intervalls (, , ) ein quadratisches Polynom approximiert. Mittels der ersten Ableitung erhält man das Minimum. Mit dem zusätzlich erlangten Punkt wird nun eine kubische Approximation durchgeführt. Wenn die Genauigkeit des Minimums des kubischen Polynoms ausreicht, stoppt das Verfahren. Ansonsten werden neue Intervallgrenzen in der Nähe des zuletzt bestimmten Optimums errechnet und das Verfahren startet bei der Neuberechnung des kubischen Polynoms [28].

 

Mehrdimensionale Optimierungsalgorithmen

Eine mehrdimensionale Optimierung nach dem Liniensuchverfahren beginnt mit der Festlegung des Startpunktes . In diesem Punkt der Zielfunktion wird eine Suchrichtung nach den Verfahren 0-ter, 1-ter und 2-ter Ordnung festgelegt. Mit der Gleichung 3.40 wird das mehrdimensionale Problem auf ein eindimensionales Problem zurückgeführt.

(40)

Durch Finden des Minimums der Funktion wird die Schrittweite berechnet. Dazu können die Methoden aus Abschnitt 3.2.2 verwendet werden. Mit der Schrittweite wird der neue Vektor der Designvariablen berechnet. Die Iteration wird solange fortgesetzt, bis das Konvergenzkriterium erreicht ist.

(41)

Ein effektives Verfahren 0-ter Ordnung ist die Methode nach Powell [2]. Dabei wird die Liniensuchmethode eingesetzt, um die Suchrichtung zu bestimmen. Als Startvektor werden die Einheitsnormalenrichtungen der Entwurfsvariablen verwendet. Eine Iteration enthält dabei n-Liniensuchverfahren (n-Anzahl der Entwurfsvariablen) für die Suchrichtung. Es wird jeweils eine Richtung verändert und anschließend die resultierende Suchrichtung für die anfängliche Einheitsnormalenrichtungen der Designvariable ersetzt. Nach n-Liniensuchverfahren ist somit die Suchrichtung festgelegt und der Iterationsschritt endet mit einer abschließenden Liniensuche für den verbesserten Entwurfsvariablenvektor der Zielfunktion.

Das bekannteste Verfahren 1-ter Ordnung ist die Methode des steilsten Anstiegs. Dabei wird die Suchrichtung aus der partiellen Ableitung der Zielfunktion bestimmt.

(42)

Somit zeigt die Suchrichtung immer in Richtung des steilsten Anstieges. Am neu errechneten Punkt steht die Suchrichtung senkrecht zum Gradienten . Bei langgestreckten Tälern kommt es demzufolge zu einem Zick-Zack-Kurs. Dies benötigt einen hohen Rechenaufwand [28].

Die genannten Schwächen der Methode des steilsten Anstieges motivierten Fletcher und Reeves, eine Verbesserung vorzunehmen. Die erste Suchrichtung wird nach der Gleichung 3.42 bestimmt. Die folgenden Suchrichtungen werden korrigiert mittels Gleichung 3.43 [2].

(43)

Eine ähnliche Verbesserung, wie das zuvor beschriebene Verfahren, bietet das Quasi-Newton-Verfahren. Dies ist ein Verfahren 2-ter Ordnung. Es wird für die Berechnung von n-Designvariablen, die inverse Hesse-Matrix verwendet. Diese enthält die zweiten partiellen Ableitungen der Zielfunktion. Allerdings ist die genaue Berechnung der Hesse-Matrix sehr aufwendig, so dass das Verfahren mit der Einheitsmatrix startet. Die Hesse-Matrix wird bei jeder Iteration modifiziert, bis nach n-Iterationen die exakte Matrix vorliegt. Die Suchrichtung ergibt sich zu [28]:

(44)

All die bisher beschriebenen Verfahren sind geeignet, um lokale Optima zu finden. Wenn eine Funktion mehrere Extrema aufweist, und nicht bekannt ist in welchem Bereich sich das globale befindet, sollten Zufallsmethoden wie der Monte Carlo Algorithmus verwendet werden. Es existieren bis heute jedoch keine Algorithmen, die eindeutig das globale Optimum bestimmen können.

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Originalarbeit

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Über den autor

Über den Autor


 

Tom Kretzschmar M.Eng,B.Eng., geboren am 21.05.1985 in Borna.

 

  • Station 1: Technisches Gymnasium Espenhain 2001-2004
  • Station 2: Bachelorstudium HTWK-Leipzig 2004-2007 (B.Eng.)
  • Station 3: Masterstudium HTWK-Leipzig/University of the West of Scotland (M.Eng.,M.Sc.) 2007-2010

Impressum

Autor

Tom Kretzschmar
Kurt-Eisner-Straße 96
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Betreuer (HTWK)

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Technische Mechanik / Rechneranwendung
FB Maschinen- und Energietechnik / HTWK Leipzig
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Betreuer ( Betrieb )

Dipl.-Ing. (FH) Matthias Weps
Leistungsbereich Polymercompounds
Fraunhofer Institut für Werkstoffmechanik IWM
Walter-Hülse-Straße 1
D-06120 Halle (Saale)
matthias.weps(at)iwmh.fraunhofer.de

State of the Art - Zum Stand der Technik

Charakterisierung von Hybridstrukturen

Ein Hybrid besteht aus mindestens zwei oder mehreren Komponenten, die durch den gleichzeitigen Einsatz in einem Systemverbund ein neues Eigenschaftsprofil besitzen. Je unterschiedlicher die Werkstoffkategorien ursprünglich sind, desto größer ist das erzielbare Verbesserungspotenzial, wenn dabei jeweils die Vorteile der einen Komponente die Nachteile der anderen ausgleichen können. Ein solches unterschiedliches Portfolio an Eigenschaften zeigen Kunststoffe und Metalle. Zum Beispiel weisen Metalle hohe Festigkeiten und Steifigkeiten auf, hingegen sind Kunststoffe mit hohen Bruchdehnungen gutmütiger für Verformungen. Die Automobilindustrie erkannte das Potential der Werkstoffkombination. Audi führte mit dem Frontend des Audi A6 1998 das erste Großserien-Hybridbauteil ein. Damit konnten Gewichtseinsparungen von 15 % erreicht werden, bei gleichzeitiger Verringerung der Herstellungskosten um 10 % [3].

Das Ziel der Hybridkonstruktion liegt darin, eine kosten- und ressourcensparende Lösung zu entwickeln, die Vorteile kombiniert und Nachteile kompensiert. In Tabelle 2.1 sind die Eigenschaften der beiden Verbundpartner dargestellt.

 

Tab. 2.1: Eigenschaften von Metallen und Kunststoffen [4,5]